Quais das séries nos exercícios 1-30 convergem equais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos determinar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e critérios de convergência, como o Teste da Razão. Também vamos precisar entender propriedades de limites e séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. Observamos que a série é da forma
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 3
Essa forma nos mostra que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
Passo 4
No nosso caso, o primeiro termo (
) é
e a razão comum (
) também é
.
Passo 5
Para uma série geométrica
, a série converge se e somente se o valor absoluto da razão comum
for menor que 1, ou seja,
. Caso contrário, a série diverge.
Passo 6
Vamos calcular o valor de
:
Passo 7
Agora, verificamos se
:
Passo 8
Como
, de acordo com o critério da série geométrica, a série diverge.
Resposta
A série
diverge, pois a razão comum é maior que 1.