Quais das séries nos exercícios 1-30 convergem equais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
sumn=1^infty 1(ln 2)^n

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos determinar se a série infinita sumn=1^infty 1(ln 2)^n converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e critérios de convergência, como o Teste da Razão. Também vamos precisar entender propriedades de limites e séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. Observamos que a série é da forma sumn=1^infty 1(ln 2)^n. Podemos reescrever isso como sumn=1^infty ( 1ln 2 )^n.

Passo 3

Essa forma nos mostra que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.

Passo 4

No nosso caso, o primeiro termo ( a) é ( 1ln 2 )^1 = 1ln 2 e a razão comum ( r) também é 1ln 2.

Passo 5

Para uma série geométrica sumn=0^infty ar^n, a série converge se e somente se o valor absoluto da razão comum |r| for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Caso contrário, a série diverge.

Passo 6

Vamos calcular o valor de r:
r = 1ln 2 approx 10,6931 approx 1,4427

Passo 7

Agora, verificamos se |r| < 1:
|1,4427| = 1,4427 > 1

Passo 8

Como |r| > 1, de acordo com o critério da série geométrica, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(ln 2)^n diverge, pois a razão comum é maior que 1.

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