Considere o campo de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=\frac{k(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Mostre que \vec{F} é conservativo no espaço.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y,z)=\frac{k\big(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\big)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e pede para mostrar que \vec{F} é conservativo no espaço. Informações relevantes que temos: a expressão usa x^{2}+y^{2}+z^{2} no denominador, logo \vec{F} não está definida no ponto (0,0,0). O que devemos provar é que existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla\varphi em todo o domínio onde \vec{F} está definida.

Passo 2

Vamos tornar a notação mais prática definindo a distância ao origem
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Então a componente do vetor no numerador é (x,y,z) e o denominador é r^{2}, de modo que podemos escrever
\vec{F}(x,y,z)=k\,\frac{(x,y,z)}{r^{2}}.
Uma boa hipótese (intuitiva) para o potencial é algo que dependa só de r, porque \vec{F} é radial (aponta para fora/para dentro). Vou testar a função escalar \varphi(x,y,z)=k\ln r. Agora vamos calcular o gradiente de \varphi e ver se dá \vec{F}.

Passo 3

Lembrete rápido de cálculo: se \varphi(x,y,z)=f(r) com r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, então por regra da cadeia
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}.
Aqui f(r)=k\ln r, então f'(r)=\dfrac{k}{r}. Agora calculamos \dfrac{\partial r}{\partial x}. Como r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r}.
Portanto
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{k}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{kx}{r^{2}}.

Passo 4

De forma análoga, pelas mesmas contas para y e z obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{ky}{r^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{kz}{r^{2}}.
Juntando as componentes, o gradiente é
\nabla\varphi=\left(\frac{kx}{r^{2}},\frac{ky}{r^{2}},\frac{kz}{r^{2}}\right)=\frac{k(x,y,z)}{r^{2}}.
Comparando com a expressão dada, vemos que
\vec{F}=\nabla\varphi
para todo ponto em que r>0 (ou seja, em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}).

Passo 5

Conseqüências e interpretação didática: ter \vec{F}=\nabla\varphi significa exatamente que \vec{F} é conservativo no domínio onde \varphi é definida (aqui para r>0). O potencial encontrado é
\varphi(x,y,z)=k\ln r=k\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
e potenciais podem ser alterados por constantes sem mudar o campo. Observação importante: no ponto (0,0,0) a função \varphi (e \vec{F}) não estão definidas, então não podemos afirmar que \vec{F} é conservativo incluindo a origem. Fora a origem, tudo certinho: curvas entre dois pontos têm integral de linha igual à diferença de \varphi nesses pontos (teorema fundamental para gradientes), o que confirma a propriedade de conservatividade.

Passo 6

Comentário extra rápido (útil na prova): outra maneira seria calcular \nabla\times\vec{F} e verificar que é zero em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}; então, como esse domínio é simplesmente conexo, permitiria concluir que \vec{F} é conservativo. Mas achar explicitamente \varphi como fizemos é mais direto e evita cálculos mais longos. Força aí — a ideia-chave é reconhecer a simetria radial e testar \varphi=k\ln r.

Resposta

\vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}; um potencial é \varphi(x,y,z)=k\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

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