Considere o campo de vetores:
Mostre que
é conservativo no espaço.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede para mostrar que
é conservativo no espaço. Informações relevantes que temos: a expressão usa
no denominador, logo
não está definida no ponto
. O que devemos provar é que existe uma função escalar
tal que
em todo o domínio onde
está definida.
Passo 2
Vamos tornar a notação mais prática definindo a distância ao origem
Então a componente do vetor no numerador é
e o denominador é
, de modo que podemos escrever
Uma boa hipótese (intuitiva) para o potencial é algo que dependa só de
, porque
é radial (aponta para fora/para dentro). Vou testar a função escalar
. Agora vamos calcular o gradiente de
e ver se dá
.
Passo 3
Lembrete rápido de cálculo: se
com
, então por regra da cadeia
Aqui
, então
. Agora calculamos
. Como
,
Portanto
Passo 4
De forma análoga, pelas mesmas contas para
e
obtemos
Juntando as componentes, o gradiente é
Comparando com a expressão dada, vemos que
para todo ponto em que
(ou seja, em
).
Passo 5
Conseqüências e interpretação didática: ter
significa exatamente que
é conservativo no domínio onde
é definida (aqui para
). O potencial encontrado é
e potenciais podem ser alterados por constantes sem mudar o campo. Observação importante: no ponto
a função
(e
) não estão definidas, então não podemos afirmar que
é conservativo incluindo a origem. Fora a origem, tudo certinho: curvas entre dois pontos têm integral de linha igual à diferença de
nesses pontos (teorema fundamental para gradientes), o que confirma a propriedade de conservatividade.
Passo 6
Comentário extra rápido (útil na prova): outra maneira seria calcular
e verificar que é zero em
; então, como esse domínio é simplesmente conexo, permitiria concluir que
é conservativo. Mas achar explicitamente
como fizemos é mais direto e evita cálculos mais longos. Força aí — a ideia-chave é reconhecer a simetria radial e testar
.