e pede: encontre a equação da reta tangente à curva C no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=1-2t
y(t)=-4+t^{3/2}
t=1 \text{ (ponto onde queremos a tangente)}
Passo 2
Primeiro vamos achar as coordenadas do ponto da curva quando t=1. Basta substituir t=1 em x(t) e em y(t).
Calcule x(1):
x(1)=1-2\cdot 1=1-2=-1.
Calcule y(1):
y(1)=-4+1^{3/2}=-4+1=-3.
Portanto o ponto da curva em t=1 é (-1,-3).
Passo 3
Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Para curvas paramétricas a inclinação \dfrac{dy}{dx} é obtida pela razão entre as derivadas em relação ao parâmetro t:
Explicação dessa fórmula (rápida e intuitiva): x e y variam com t. A taxa de variação de y por unidade de x é a taxa de variação de y por t dividida pela taxa de variação de x por t — pense em \Delta y/\Delta x = (\Delta y/\Delta t)/(\Delta x/\Delta t) no limite.
Passo 4
Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Derivando x(t)=1-2t:
\frac{dx}{dt}=-2.
Derivando y(t)=-4+t^{3/2}. Aqui usamos a regra da potência: se f(t)=t^{k} então f'(t)=k\,t^{k-1}. Para k=\tfrac{3}{2} temos
que é exatamente a ordenada do ponto, então tudo bate.
Força aí — deu trabalho, mas o processo é sempre esse: achar o ponto (substituir t), derivar x(t) e y(t), calcular \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{x'} e montar a reta ponto-inclinação.