Seja a curva
C: x(t)=1-2 t, \quad y(t)=-4+t^{3 / 2}, \quad t \in[0,2]
Encontre a equação da reta tangente à C no ponto dado por t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
C: x(t)=1-2t,\quad y(t)=-4+t^{3/2},\quad t\in[0,2]
e pede: encontre a equação da reta tangente à curva C no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=1-2t
y(t)=-4+t^{3/2}
t=1 \text{ (ponto onde queremos a tangente)}

Passo 2

Primeiro vamos achar as coordenadas do ponto da curva quando t=1. Basta substituir t=1 em x(t) e em y(t).
Calcule x(1):
x(1)=1-2\cdot 1=1-2=-1.
Calcule y(1):
y(1)=-4+1^{3/2}=-4+1=-3.
Portanto o ponto da curva em t=1 é (-1,-3).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Para curvas paramétricas a inclinação \dfrac{dy}{dx} é obtida pela razão entre as derivadas em relação ao parâmetro t:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
Explicação dessa fórmula (rápida e intuitiva): x e y variam com t. A taxa de variação de y por unidade de x é a taxa de variação de y por t dividida pela taxa de variação de x por t — pense em \Delta y/\Delta x = (\Delta y/\Delta t)/(\Delta x/\Delta t) no limite.

Passo 4

Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Derivando x(t)=1-2t:
\frac{dx}{dt}=-2.
Derivando y(t)=-4+t^{3/2}. Aqui usamos a regra da potência: se f(t)=t^{k} então f'(t)=k\,t^{k-1}. Para k=\tfrac{3}{2} temos
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}t^{1/2}.
Logo
\frac{dy}{dt}=\frac{3}{2}t^{1/2}.
No ponto t=1 avalie:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=1}=-2, \qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}=\frac{3}{2}\cdot 1^{1/2}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Agora a inclinação da tangente em t=1 é
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=\frac{\dfrac{dy}{dt}\big|_{t=1}}{\dfrac{dx}{dt}\big|_{t=1}}=\frac{\tfrac{3}{2}}{-2}.
Simplificando:
\frac{\tfrac{3}{2}}{-2}=\frac{3}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m=-\tfrac{3}{4}.

Passo 6

Use a forma ponto-inclinação da reta: se a reta passa por (x_0,y_0) com inclinação m, então
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui (x_0,y_0)=(-1,-3) e m=-\tfrac{3}{4}. Substituindo:
y-(-3)=-\frac{3}{4}\bigl(x-(-1)\bigr)
ou seja
y+3=-\frac{3}{4}(x+1).
Podemos rearranjar para uma forma mais limpa. Multiplicando ambos os lados por 4:
4(y+3)=-3(x+1).
Expandindo:
4y+12=-3x-3.
Passando todos os termos para um lado:
3x+4y+15=0.
Ou isolando y (forma reduzida):
y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}.

Passo 7

Pequena verificação mental: substituindo x=-1 na forma y=-\tfrac{3}{4}x-\tfrac{15}{4} obtemos
y=-\frac{3}{4}(-1)-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}-\frac{15}{4}=-\frac{12}{4}=-3,
que é exatamente a ordenada do ponto, então tudo bate.
Força aí — deu trabalho, mas o processo é sempre esse: achar o ponto (substituir t), derivar x(t) e y(t), calcular \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{x'} e montar a reta ponto-inclinação.

Resposta

y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}

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