Seja a curva
Calcule o comprimento de
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada e pede o comprimento dela. Informações fornecidas:
O que é pedido: calcular o comprimento da curva
para
variando de
a
.
Passo 2
A ideia geral (fórmula) que vamos usar: o comprimento de uma curva parametrizada
para
é dado por
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
(velocidade na direção
) e
é a derivada de
(velocidade na direção
). O integrando
é o comprimento do vetor velocidade instantâneo — imaginar o pequeno deslocamento ao longo da curva e somar esses comprimentos.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.
Usamos a regra do poder para derivadas: se
então
. Para
é uma reta em
, então
Para
aplicamos a regra do poder com
:
Aqui
.
Passo 4
Formar o integrando
:
Logo
Passo 5
Simplificar a raiz para facilitar a integração. Colocando sobre um denominador comum:
Portanto
Passo 6
Escrever a integral do comprimento com o integrando simplificado e os limites
a
:
Para calcular a integral, fazemos a substituição linear
Quando
temos
. Quando
temos
.
Passo 7
Trocar variável na integral:
Agora usamos a primitiva de
:
.
Passo 8
Calcular a integral definida:
Simplificar os termos conhecidos:
. E
. Logo
Passo 9
Interpretação final e observação prática: a expressão
é a forma exata do comprimento. Se precisar de um valor decimal aproximado, calcula-se
e faz a conta — mas em provas normalmente a forma exata é suficiente.