Seja a curva
C: x(t)=1-2 t, \quad y(t)=-4+t^{3 / 2}, \quad t \in[0,2]
Calcule o comprimento de C.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada e pede o comprimento dela. Informações fornecidas:
x(t)=1-2t,\qquad y(t)=-4+t^{3/2},\qquad t\in[0,2].
O que é pedido: calcular o comprimento da curva C para t variando de 0 a 2.

Passo 2

A ideia geral (fórmula) que vamos usar: o comprimento de uma curva parametrizada \big(x(t),y(t)\big) para t\in[a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\;dt.
Explicando devagar: x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x) e y'(t) é a derivada de y (velocidade na direção y). O integrando \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é o comprimento do vetor velocidade instantâneo — imaginar o pequeno deslocamento ao longo da curva e somar esses comprimentos.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t).
Usamos a regra do poder para derivadas: se f(t)=t^{p} então f'(t)=p\,t^{p-1}. Para x(t)=1-2t é uma reta em t, então
x'(t)=-2.
Para y(t)=-4+t^{3/2} aplicamos a regra do poder com p=\tfrac{3}{2}:
y'(t)=\frac{3}{2}\,t^{1/2}.
Aqui t^{1/2}=\sqrt{t}.

Passo 4

Formar o integrando \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}:
\big(x'(t)\big)^{2}=(-2)^{2}=4,
\big(y'(t)\big)^{2}=\left(\frac{3}{2}t^{1/2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\,t.
Logo
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{4+\frac{9}{4}t}.

Passo 5

Simplificar a raiz para facilitar a integração. Colocando sobre um denominador comum:
4+\frac{9}{4}t=\frac{16+9t}{4}.
Portanto
\sqrt{4+\frac{9}{4}t}=\sqrt{\frac{16+9t}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{16+9t}.

Passo 6

Escrever a integral do comprimento com o integrando simplificado e os limites 0 a 2:
L=\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\sqrt{16+9t}\;dt.
Para calcular a integral, fazemos a substituição linear
u=16+9t\quad\Rightarrow\quad du=9\,dt\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{9}.
Quando t=0 temos u=16. Quando t=2 temos u=16+9\cdot2=34.

Passo 7

Trocar variável na integral:
L=\int_{u=16}^{34}\frac{1}{2}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}=\frac{1}{18}\int_{16}^{34}u^{1/2}\;du.
Agora usamos a primitiva de u^{1/2}: \displaystyle\int u^{1/2}du=\frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 8

Calcular a integral definida:
L=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3} \Big[u^{3/2}\Big]_{16}^{34}=\frac{1}{27}\Big(34^{3/2}-16^{3/2}\Big).
Simplificar os termos conhecidos: 16^{3/2}=(\sqrt{16})^{3}=4^{3}=64. E 34^{3/2}=34\sqrt{34}. Logo
L=\frac{1}{27}\Big(34\sqrt{34}-64\Big).

Passo 9

Interpretação final e observação prática: a expressão \displaystyle\frac{1}{27}\big(34\sqrt{34}-64\big) é a forma exata do comprimento. Se precisar de um valor decimal aproximado, calcula-se \sqrt{34} e faz a conta — mas em provas normalmente a forma exata é suficiente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}\big(34\sqrt{34}-64\big)

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