Considere o campo de vetores:
Encontre uma função potencial,
, para
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede para encontrar uma função potencial
tal que
Informações relevantes: a expressão de
está definida quando
(ou seja, exceto na origem). A tarefa é achar
cujo gradiente é exatamente essa
.
Passo 2
O que significa achar uma função potencial? Significa encontrar
tal que as derivadas parciais de
coincidam com as componentes de
. Ou seja, devemos ter
Estratégia prática: integrar a primeira igualdade em relação a
considerando
como constantes, e depois ajustar com funções de integração que dependem só de
. Depois usar as outras igualdades para determinar essas funções.
Passo 3
Integro
em relação a
:
Para integrar, observe que
. Então
é da forma
. Assim
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Portanto, até agora temos a forma
Passo 4
Agora usamos a condição para a derivada em
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Daqui segue imediatamente que
Logo
não depende de
; ou seja,
para alguma função
de
apenas.
Passo 5
Agora aplico a mesma ideia usando a derivada em
. Da expressão
temos
Igualando ao componente dada por
,
concluímos que
Portanto
é constante. Vamos chamar essa constante de
.
Assim obtemos
Passo 6
Observação sobre domínio e forma equivalente: como
, podemos escrever a função potencial também como
ou, de forma mais comum,
com
. Essas formas são equivalentes e válidas para todo ponto onde
(isto é, fora da origem), pois no ponto
o campo tem singularidade e não existe potencial definido de forma contínua que cubra toda a origem.