Considere o campo de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=\frac{k(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Encontre uma função potencial, f(x, y, z), para \vec{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y,z)=\frac{k\,(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e pede para encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que
\nabla f=\vec{F}.
Informações relevantes: a expressão de \vec{F} está definida quando x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0 (ou seja, exceto na origem). A tarefa é achar f cujo gradiente é exatamente essa \vec{F}.

Passo 2

O que significa achar uma função potencial? Significa encontrar f tal que as derivadas parciais de f coincidam com as componentes de \vec{F}. Ou seja, devemos ter
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{kx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{ky}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{kz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Estratégia prática: integrar a primeira igualdade em relação a x considerando y,z como constantes, e depois ajustar com funções de integração que dependem só de y,z. Depois usar as outras igualdades para determinar essas funções.

Passo 3

Integro \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{kx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em relação a x:
f(x,y,z)=\int \frac{kx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx.
Para integrar, observe que \displaystyle \frac{d}{dx}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)=2x. Então \displaystyle \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é da forma \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2}). Assim
\int \frac{kx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx = \frac{k}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big) + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
Portanto, até agora temos a forma
f(x,y,z)=\frac{k}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)+g(y,z).

Passo 4

Agora usamos a condição para a derivada em y. Calculo \partial f/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{k}{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{ky}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{\partial g}{\partial y}.
Mas sabemos que \partial f/\partial y deve ser igual a \displaystyle \frac{ky}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Igualando,
\frac{ky}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{ky}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Daqui segue imediatamente que
\frac{\partial g}{\partial y}=0.
Logo g não depende de y; ou seja, g(y,z)=h(z) para alguma função h de z apenas.

Passo 5

Agora aplico a mesma ideia usando a derivada em z. Da expressão
f(x,y,z)=\frac{k}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)+h(z),
temos
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{k}{2}\cdot\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{dh}{dz} =\frac{kz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{dh}{dz}.
Igualando ao componente dada por \vec{F},
\frac{kz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{dh}{dz}=\frac{kz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
concluímos que
\frac{dh}{dz}=0.
Portanto h(z) é constante. Vamos chamar essa constante de C.
Assim obtemos
f(x,y,z)=\frac{k}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)+C.

Passo 6

Observação sobre domínio e forma equivalente: como \ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, podemos escrever a função potencial também como f(x,y,z)=k\ln\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big)+C ou, de forma mais comum, f(x,y,z)=k\ln r + C com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Essas formas são equivalentes e válidas para todo ponto onde r>0 (isto é, fora da origem), pois no ponto r=0 o campo tem singularidade e não existe potencial definido de forma contínua que cubra toda a origem.

Resposta

f(x,y,z)=\frac{k}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)+C

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