Seja \sigma(t)=\left(a \sin t \cos t, \dot{a} \sin ^{2} t\right), 0 \leq t \leq \pi, a parametrização de uma curva c no plano.
Exiba a equação cartesiana de c.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(t)=\bigl(a\sin t\cos t,\;\dot{a}\sin^{2}t\bigr),\qquad 0\le t\le\pi,
e pede: exibir a equação cartesiana da curva c (ou seja, uma relação entre x e y que não contenha o parâmetro t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
x(t)=a\sin t\cos t,\qquad y(t)=\dot{a}\sin^{2}t,
com t\in[0,\pi]. Aqui a e \dot{a} aparecem como constantes (vou tratar \dot{a} como uma constante; para simplificar a notação introduzo abaixo uma letra curta para ela).

Passo 2

Para simplificar, defino a constante
b:=\dot{a}.
Assim
x=a\sin t\cos t,\qquad y=b\sin^{2}t.
Agora uso identidades trigonométricas úteis que você deve decorar — elas são muito práticas em provas:
  1. \sin t\cos t=\dfrac{1}{2}\sin(2t).
  2. \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}.
    Aplicando-as:
x=\frac{a}{2}\sin(2t),\qquad y=\frac{b}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).

Passo 3

Resolvo as duas expressões acima para \sin(2t) e \cos(2t):
\sin(2t)=\frac{2x}{a},\qquad \cos(2t)=1-\frac{2y}{b}.
Essas expressões traduzem as funções trigonométricas do ângulo 2t em termos de x e y.

Passo 4

Agora uso a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)=1. Substituindo as expressões de \sin(2t) e \cos(2t) obtemos:
\left(\frac{2x}{a}\right)^{2}+\left(1-\frac{2y}{b}\right)^{2}=1.
Faço a álgebra passo a passo:
\frac{4x^{2}}{a^{2}}+\left(1-\frac{4y}{b}+\frac{4y^{2}}{b^{2}}\right)=1.
Cancelei o 1 dos dois lados:
\frac{4x^{2}}{a^{2}}-\frac{4y}{b}+\frac{4y^{2}}{b^{2}}=0.
Dividindo por 4:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y}{b}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0.
Multiplico por b^{2} para eliminar denominadores:
\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}-by+y^{2}=0,
ou reescrevendo:
y^{2}-by+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}=0.

Passo 5

Para reconhecer o tipo de curva (e dar a forma canônica), completo o quadrado em y. Observe que
y^{2}-by=(y-\tfrac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4}.
Substituindo na equação obtida:
\left(y-\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}=0.
Isolando o termo constante no outro lado:
\left(y-\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}=\frac{b^{2}}{4}.
Agora divido ambos os lados por \dfrac{b^{2}}{4} para obter a forma padrão:
\frac{(y-\tfrac{b}{2})^{2}}{\tfrac{b^{2}}{4}}+\frac{x^{2}}{\tfrac{a^{2}}{4}}=1.
Essa é a equação de uma elipse centrada em \bigl(0,\tfrac{b}{2}\bigr) com semi-eixos \tfrac{a}{2} (na direção x) e \tfrac{b}{2} (na direção y). Note também que, como t\in[0,\pi] implica 2t\in[0,2\pi], o parâmetro percorre a elipse inteira uma vez.

Passo 6

Voltando à notação original com \dot{a} no lugar de b, as formas equivalentes da equação cartesiana da curva são:
polinomial:
y^{2}-\dot{a}\,y+\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}x^{2}=0,
e forma canônica (elipse):
\frac{(y-\tfrac{\dot{a}}{2})^{2}}{(\tfrac{\dot{a}}{2})^{2}}+\frac{x^{2}}{(\tfrac{a}{2})^{2}}=1.

Resposta

\frac{(y-\tfrac{\dot{a}}{2})^{2}}{(\tfrac{\dot{a}}{2})^{2}}+\frac{x^{2}}{(\tfrac{a}{2})^{2}}=1

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