Seja
, a parametrização de uma curva
no plano.
Exiba a equação cartesiana de
.
Exiba a equação cartesiana de
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede: exibir a equação cartesiana da curva
(ou seja, uma relação entre
e
que não contenha o parâmetro
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
com
. Aqui
e
aparecem como constantes (vou tratar
como uma constante; para simplificar a notação introduzo abaixo uma letra curta para ela).
Passo 2
Para simplificar, defino a constante
Assim
Agora uso identidades trigonométricas úteis que você deve decorar — elas são muito práticas em provas:
-
. -
.
Aplicando-as:
Passo 3
Resolvo as duas expressões acima para
e
:
Essas expressões traduzem as funções trigonométricas do ângulo
em termos de
e
.
Passo 4
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo as expressões de
e
obtemos:
Faço a álgebra passo a passo:
Cancelei o
dos dois lados:
Dividindo por
:
Multiplico por
para eliminar denominadores:
ou reescrevendo:
Passo 5
Para reconhecer o tipo de curva (e dar a forma canônica), completo o quadrado em
. Observe que
Substituindo na equação obtida:
Isolando o termo constante no outro lado:
Agora divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse centrada em
com semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
). Note também que, como
implica
, o parâmetro percorre a elipse inteira uma vez.
Passo 6
Voltando à notação original com
no lugar de
, as formas equivalentes da equação cartesiana da curva são:
polinomial:
polinomial:
e forma canônica (elipse):