Considere o seguinte campo vetorial
F(x, y)=(2 x cos (y),-x^2 sen(y))
Verifique se F é um campo vetorial conservativo.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = (2xcos y, -x^2sin y). O conteúdo é verificação de campo conservativo: em domínios simplesmente conectados (como R^2), basta checar se partial Ppartial y = partial Qpartial x.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y. Temos
P(x,y) = 2xcos y implies partial Ppartial y = 2x cdot (-sin y) = -2xsin y

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de Q em relação a x. Temos
Q(x,y) = -x^2sin y implies partial Qpartial x = -2xsin y

Passo 4

Como
partial Ppartial y = -2xsin y = partial Qpartial x, segue que F é conservativo em R^2, pois o campo satisfaz a condição de igualdade das derivadas mistas.

Passo 5

Para completar, podemos encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi = F. Basta integrar P em relação a x:
phi(x,y) = integral 2xcos y,dx = x^2cos y + g(y), e em seguida verificar com Q que g'(y)=0. Portanto
phi(x,y) = x^2cos y + C

Resposta

Sim. O campo é conservativo e uma função potencial é phi(x,y)=x^2cos y + C.

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