Considere o campo vetorial em R^2
F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
Qual a integral de caminho integralC F cdot d r, onde C é qualquer caminho fechado simples que circunde a origem.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada de F(x,y)=-y, i + x, jx^2+y^2 sobre qualquer curva simples C que circunde a origem. O tema aqui é “integrais de linha em campos não-conservativos” num domínio que não é simplesmente conexo (pois exclui a origem).

Passo 2

O campo F apresenta singularidade em (0,0), então não é conservativo em todo R^2setminus0. Para calcular ointC Fcdot d r, é conveniente usar coordenadas polares, onde x=rcostheta e y=rsintheta.
Em coordenadas polares temos
F(r,theta)=-rsintheta, i + rcostheta, jr^2=l(-sinthetar,,costhetarr)

Passo 3

Agora parametrizamos C no sentido anti-horário por r=R fixo e theta variando de 0 a 2pi. Assim
r(theta)=(Rcostheta,,Rsintheta), d r=( -Rsintheta,,Rcostheta ),dtheta

Passo 4

O produto escalar fica
Fl(r(theta)r)cdot d r=l(-tfracsinthetar,,tfraccosthetarr)cdot(-Rsintheta,,Rcostheta),dtheta=l(sin^2theta+cos^2thetar),dtheta=dtheta

Passo 5

Integrando de 0 a 2pi obtemos
ointC Fcdot d r=integral0^2pidtheta=2pi

Resposta

2pi

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