Considere o campo vetorial em
Qual a integral de caminho
, onde
é qualquer caminho fechado simples que circunde a origem.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada de
sobre qualquer curva simples
que circunde a origem. O tema aqui é “integrais de linha em campos não-conservativos” num domínio que não é simplesmente conexo (pois exclui a origem).
Passo 2
O campo
apresenta singularidade em
, então não é conservativo em todo
. Para calcular
, é conveniente usar coordenadas polares, onde
e
.
Em coordenadas polares temos
Em coordenadas polares temos
Passo 3
Agora parametrizamos
no sentido anti-horário por
fixo e
variando de 0 a
. Assim
Passo 4
O produto escalar fica
Passo 5
Integrando de 0 a
obtemos