Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(z^2, x z, 2 x y) e o campo escalar f(x, y, z)=x^2+ y^2-z. Determine:
(a) nabla f, rot F e div F;
(b) Uma parametrização para a superfície S dada por f(x, y, z)=0.
(c) A expressão de nabla f, rot F e div F nos pontos da superfície.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
f(x,y,z)=x^2+y^2-z
e o campo vetorial
F(x,y,z)=(P,Q,R)=(z^2,;xz,;2xy)
Pede (a) o gradiente de f, o rotacional de F e a divergência de F; (b) uma parametrização da superfície
S:;f(x,y,z)=0
que é o paraboloide z=x^2+y^2; (c) expressar nabla f, rotF e divF nos pontos de S.

Passo 2

Para achar nabla f usamos nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y,partial f/partial z). Logo,
nabla f=(2x,;2y,;-1)
Para o rotacional usamos
rotF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Calculando cada derivada:
partial Rpartial y=partial(2xy)partial y=2x, partial Qpartial z=partial(xz)partial z=x,
partial Ppartial z=partial(z^2)partial z=2z, partial Rpartial x=partial(2xy)partial x=2y,
partial Qpartial x=partial(xz)partial x=z, partial Ppartial y=partial(z^2)partial y=0
Portanto
rotF =(2x-x,;2z-2y,;z-0) =(x,;2z-2y,;z)
Para a divergência usamos
divF =partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z =0+0+0=0,
pois P=z^2 não depende de x, Q=xz não depende de y e R=2xy não depende de z.

Passo 3

A superfície S é dada por
x^2+y^2-z=0 Longrightarrow z=x^2+y^2
Uma parametrização natural é tomar parâmetros u,v para as coordenadas x,y, isto é
r(u,v)=(u,;v,;u^2+v^2),
com (u,v)in R^2.

Passo 4

Basta agora avaliar as fórmulas de nabla f, rotF e divF em z=x^2+y^2.
  • Em S:;z=x^2+y^2,
nabla fl|S=(2x,;2y,;-1)
  • Em S,
rotFl|S =l(x,;2(x^2+y^2)-2y,;x^2+y^2r)
  • Em S,
divFl|S=0

Resposta

(a)
nabla f=(2x,2y,-1),
rotF=(x,,2z-2y,,z),
divF=0
(b) Uma parametrização de S:f(x,y,z)=0 é
r(u,v)=(u,;v,;u^2+v^2), (u,v)in R^2
(c) Nos pontos de S (isto é, z=x^2+y^2) vale
nabla f=(2x,2y,-1), rotF=(x,,2(x^2+y^2)-2y,,x^2+y^2), divF=0

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