Considere o campo vetorial e o campo escalar . Determine:
(a) e ;
(b) Uma parametrização para a superfície dada por .
(c) A expressão de , rot e nos pontos da superfície.
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e o campo vetorial
Pede (a) o gradiente de , o rotacional de e a divergência de ; (b) uma parametrização da superfície
que é o paraboloide ; (c) expressar , e nos pontos de .
Passo 2
Para achar usamos . Logo,
Para o rotacional usamos
Calculando cada derivada:
Portanto
Para a divergência usamos
pois não depende de , não depende de e não depende de .
Passo 3
A superfície é dada por
Uma parametrização natural é tomar parâmetros para as coordenadas , isto é