Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
x^2+4 x y+y^2=13,(2,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita x^2+4xy+y^2=13 e pede a equação da reta tangente e da reta normal no ponto (2,1). O conteúdo necessário é diferenciação implícita para achar dydx e depois usar a forma ponto-inclinação de reta.

Passo 2

Diferenciamos os dois lados de x^2+4xy+y^2=13 em relação a x, lembrando que y depende de x. A derivada de x^2 é 2x, de 4xy pela regra do produto é 4y + 4xdydx, e de y^2 é 2ydydx. Logo,
2x + 4y + 4xdydx + 2ydydx = 0
Agrupando os termos com dydx:
(4x + 2y)dydx + (2x + 4y) = 0,
isolamos dydx:
dydx = -2x + 4y4x + 2y

Passo 3

Avaliamos dydx em (x,y)=(2,1). Calculamos 2x+4y = 2cdot2 + 4cdot1 = 8 e 4x+2y = 4cdot2 + 2cdot1 = 10. Portanto,
dydx|(2,1) = -810 = -45
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 4

Para a reta tangente usamos a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com m = -45 e (x0,y0)=(2,1):
y - 1 = -45(x - 2)
Em forma geral:
5y - 5 = -4x + 8 Longrightarrow 4x + 5y - 13 = 0

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso de m, ou seja,
mnormal = -1m = 54
Usando de novo a forma ponto-inclinação em (2,1):
y - 1 = 54(x - 2)
Em forma geral:
4y - 4 = 5x - 10 Longrightarrow 5x - 4y - 6 = 0

Resposta

Reta tangente: y - 1 = -45(x - 2) ou 4x + 5y - 13 = 0
Reta normal: y - 1 = 54(x - 2) ou 5x - 4y - 6 = 0

Exercícios relacionados