Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
Passo 1
O enunciado nos dá a curva implícita e pede a equação da reta tangente e da reta normal no ponto . O conteúdo necessário é diferenciação implícita para achar e depois usar a forma ponto-inclinação de reta.
Passo 2
Diferenciamos os dois lados de em relação a , lembrando que depende de . A derivada de é , de pela regra do produto é , e de é . Logo,
Agrupando os termos com :
isolamos :
Passo 3
Avaliamos em . Calculamos e . Portanto,
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 4
Para a reta tangente usamos a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com m = -45 e (x0,y0)=(2,1):
y - 1 = -45(x - 2)
Em forma geral:
5y - 5 = -4x + 8 Longrightarrow 4x + 5y - 13 = 0
Passo 5
A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso de m, ou seja,
mnormal = -1m = 54
Usando de novo a forma ponto-inclinação em (2,1):
y - 1 = 54(x - 2)
Em forma geral:
4y - 4 = 5x - 10 Longrightarrow 5x - 4y - 6 = 0
Resposta
Reta tangente: y - 1 = -45(x - 2) ou 4x + 5y - 13 = 0
Reta normal: y - 1 = 54(x - 2) ou 5x - 4y - 6 = 0