Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo escalar
e um campo vetorial
. Aqui queremos analisar a expressão
: primeiro verificar se faz sentido defini-la, e em caso afirmativo dizer se o resultado é escalar ou vetorial.
Passo 2
Lembrando a definição do operador gradiente, para um campo escalar
definido em
temos
que produz um campo vetorial. Em geral, o gradiente está formulado para atuar sobre campos escalares, não vetoriais.
Passo 3
Como
é um campo vetorial, não existe na teoria elementar de cálculo vetorial um operador
que leve diretamente
em outra entidade escalar ou vetorial. A única “generalização” é enxergar
como a matriz Jacobiana de
, o que produz um campo de tensores de ordem 2, mas isso foge à definição usual de gradiente em cursos iniciais.
Resposta
A expressão
não faz sentido dentro da definição padrão de gradiente, pois o operador grad atua apenas em campos escalares.