Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(e) grad F

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo escalar f e um campo vetorial F. Aqui queremos analisar a expressão gradF: primeiro verificar se faz sentido defini-la, e em caso afirmativo dizer se o resultado é escalar ou vetorial.

Passo 2

Lembrando a definição do operador gradiente, para um campo escalar f definido em R^n temos
gradf = nabla f
que produz um campo vetorial. Em geral, o gradiente está formulado para atuar sobre campos escalares, não vetoriais.

Passo 3

Como F é um campo vetorial, não existe na teoria elementar de cálculo vetorial um operador grad que leve diretamente F em outra entidade escalar ou vetorial. A única “generalização” é enxergar nablaF como a matriz Jacobiana de F, o que produz um campo de tensores de ordem 2, mas isso foge à definição usual de gradiente em cursos iniciais.

Resposta

A expressão gradF não faz sentido dentro da definição padrão de gradiente, pois o operador grad atua apenas em campos escalares.

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