Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
sigma(u, v)=(cos u, sen u, v^2), no ponto sigma(-pi2, 1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada
sigma(u,v) = l(cos u,;sin u,;v^2r)
e pede a equação do plano tangente em sigmal(-tfracpi2,1r).
O conteúdo é cálculo de plano tangente via derivadas parciais e produto vetorial para achar a normal.

Passo 2

Calculamos primeiro o ponto P=sigmal(-tfracpi2,1r).
cos!l(-tfracpi2r)=0, sin!l(-tfracpi2r)=-1, 1^2=1
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P=(0,,-1,,1)

Passo 3

Obtemos as derivadas parciais de sigma:
sigmau(u,v)=(-sin u,;cos u,;0), sigmav(u,v)=(0,;0,;2v)
Em l(u,vr)=l(-tfracpi2,1r) isso dá
sigmaul(-tfracpi2,1r)=(1,,0,,0), sigmavl(-tfracpi2,1r)=(0,,0,,2)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
N = sigmautimessigmav =(1,0,0)times(0,0,2) =(0,,-2,,0)

Passo 5

A equação do plano tangente com normal N=(0,-2,0) passando por P=(0,-1,1) é
Ncdotl(x-0,;y+1,;z-1r)=0 Longrightarrow 0,(x-0) -2,(y+1) +0,(z-1)=0
ou seja
-2(y+1)=0 Longrightarrow y=-1

Resposta

A equação do plano tangente é
y=-1

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