Considere o campo vetorial
(d)
i. Verifique se
é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
(d)
ii. Caso seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Verificar se
é conservativo. - Se for conservativo, calcular
onde
é qualquer curva que liga
a
.
Informações relevantes fornecidas:
- Componente
. - Componente
. - Os pontos inicial e final do caminho são
e . - Não foi dada nenhuma restrição no domínio, então podemos considerar o domínio natural do campo: todo
.
Passo 2
O que significa “conservativo” e como checar na prática (explicação didática):
- Um campo vetorial bidimensional
é conservativo se existe uma função escalar (potencial) tal que
- Em regiões apropriadas (por exemplo em todo
, que é simplesmente conexo e sem “buracos”), uma condição prática equivalente é verificar se as derivadas cruzadas coincidem:
Essa condição vem de que, se
e
, então
(derivadas mistas iguais), desde que
seja suficientemente suave.
Agora aplicando ao nosso campo:
- Calcule
. Como , tratando como constante:
- Calcule
. Como , tratando como constante:
As duas derivadas parciais cruzadas coincidem:
.
Além disso, o domínio natural do campo é
, que é simplesmente conexo (não tem buracos). Portanto a condição é suficiente: concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Como encontrar a função potencial
(passo a passo e didático):
Queremos tal que
Queremos
- Integre
em relação a , tratando como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
(porque derivando em
desaparece).
Explicação curta: ao integrar em
, tudo que depende só de
aparece como função arbitrária
. Isso é padrão em integrais parciais.
- Agora imponha
. Calcule a derivada parcial de obtida:
Devemos ter
. Igualando:
- Integre
em relação a :
onde
é uma constante real.
- Logo a função potencial (podemos escolher
sem perda de generalidade) é
Resumo:
satisfaz
.
Passo 4
Cálculo do integral de linha usando o potencial (explicação do porquê e execução):
- Quando um campo é conservativo, o integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nos extremos (independe da curva). A fórmula é
Essa propriedade poupa o trabalho de parametrizar qualquer curva complicada.
Aplicando aos pontos dados:
- Ponto inicial:
. Calcule :
Observação:
.
- Ponto final:
. Calcule :
Observação:
.
- Portanto o integral é
Passo 5
Interpretação final e incentivo:
- Concluímos que
é conservativo porque as derivadas cruzadas coincidem e o domínio é (simplesmente conexo). - Assim, o integral de linha entre
e vale , independente da curva escolhida. - Beleza — isso é ótimo em prova: quando achar que um campo é conservativo, sempre tente encontrar o potencial e usar a diferença de potenciais; é rápido e confiável. Você conseguiu!