Considere o campo vetorial
(d)
\mathbf{F}(x, y)=\left(y \cos x, \sin x+y^{2}\right) .
i. Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
onde C é qualquer curva ligando (0,1) a (\pi, 2).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(y\cos x,\\ \sin x + y^{2}\bigr)
e pede duas coisas:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
  2. Se for conservativo, calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C é qualquer curva que liga (0,1) a (\pi,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • Componente P(x,y)=y\cos x.
  • Componente Q(x,y)=\sin x + y^{2}.
  • Os pontos inicial e final do caminho são (0,1) e (\pi,2).
  • Não foi dada nenhuma restrição no domínio, então podemos considerar o domínio natural do campo: todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa “conservativo” e como checar na prática (explicação didática):
  • Um campo vetorial bidimensional \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (potencial) tal que
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(P,Q).
  • Em regiões apropriadas (por exemplo em todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo e sem “buracos”), uma condição prática equivalente é verificar se as derivadas cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Essa condição vem de que, se P=\phi_x e Q=\phi_y, então \phi_{xy}=\phi_{yx} (derivadas mistas iguais), desde que \varphi seja suficientemente suave.
Agora aplicando ao nosso campo:
  • Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=y\cos x, tratando x como constante:
\frac{\partial P}{\partial y}=\cos x.
  • Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=\sin x + y^{2}, tratando y como constante:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\cos x.
As duas derivadas parciais cruzadas coincidem: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\cos x.
Além disso, o domínio natural do campo é \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo (não tem buracos). Portanto a condição é suficiente: concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Como encontrar a função potencial \varphi(x,y) (passo a passo e didático):
Queremos \varphi tal que
\phi_x = P(x,y)=y\cos x,\qquad \phi_y = Q(x,y)=\sin x + y^{2}.
  1. Integre \phi_x=y\cos x em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int y\cos x\,dx = y\sin x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y (porque derivando em x desaparece).
Explicação curta: ao integrar em x, tudo que depende só de y aparece como função arbitrária h(y). Isso é padrão em integrais parciais.
  1. Agora imponha \phi_y = Q. Calcule a derivada parcial de \varphi obtida:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin x + h(y)\bigr) = \sin x + h'(y).
Devemos ter \phi_y = Q = \sin x + y^{2}. Igualando:
\sin x + h'(y) = \sin x + y^{2} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y^{2}.
  1. Integre h'(y)=y^{2} em relação a y:
h(y)=\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C,
onde C é uma constante real.
  1. Logo a função potencial (podemos escolher C=0 sem perda de generalidade) é
\varphi(x,y)=y\sin x + \frac{y^{3}}{3}.
Resumo: \varphi(x,y)=y\sin x + \dfrac{y^{3}}{3} satisfaz \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 4

Cálculo do integral de linha usando o potencial (explicação do porquê e execução):
  • Quando um campo é conservativo, o integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nos extremos (independe da curva). A fórmula é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr)-\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
Essa propriedade poupa o trabalho de parametrizar qualquer curva complicada.
Aplicando aos pontos dados:
  • Ponto inicial: (0,1). Calcule \varphi(0,1):
\varphi(0,1)=1\cdot\sin 0 + \frac{1^{3}}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Observação: \sin 0=0.
  • Ponto final: (\pi,2). Calcule \varphi(\pi,2):
\varphi(\pi,2)=2\cdot\sin \pi + \frac{2^{3}}{3} = 2\cdot 0 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}.
Observação: \sin \pi=0.
  • Portanto o integral é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\pi,2)-\varphi(0,1)=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.

Passo 5

Interpretação final e incentivo:
  • Concluímos que \mathbf{F} é conservativo porque as derivadas cruzadas coincidem e o domínio é \mathbb{R}^{2} (simplesmente conexo).
  • Assim, o integral de linha entre (0,1) e (\pi,2) vale \dfrac{7}{3}, independente da curva C escolhida.
  • Beleza — isso é ótimo em prova: quando achar que um campo é conservativo, sempre tente encontrar o potencial e usar a diferença de potenciais; é rápido e confiável. Você conseguiu!

Resposta

\dfrac{7}{3}

Exercícios relacionados