a) Considere o campo vetorial
dado por:
Determine se
é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a
O campo vetorial
dado por:
é irrotacional? (Justifique!) $\propto 0
O campo vetorial
Passo 1
O enunciado traz dois campos vetoriais. Primeiro
em
, onde
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar todas as funções potenciais.
Depois apresenta em
, onde
Depois apresenta
e pede para justificar se
é irrotacional.
Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas em domínios simplesmente conexos para , e o cálculo do rotacional para
.
Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas em domínios simplesmente conexos para
Passo 2
Para
calculamos
Como
em
, e
é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivando
em relação a
e igualando a
, temos
logo
Passo 5
Integramos
:
Aqui usamos integração por partes em
. O
é a constante geral de integração.
Passo 6
Assim, uma família de potenciais é dada por
com
.
Passo 7
Para
em
calculamos o rotacional
. Seus componentes são
Passo 8
Como
em todo
,
é irrotacional.
Resposta
O campo
é irrotacional, pois
.