a) Considere o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(8+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+y e^-2 y)
Determine se F é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a F
O campo vetorial H: R^3 R^3 dado por:
H(x, y, z)=(e^x+y^2+y z, 2 y e^x+y^2+x z, x y+z)
é irrotacional? (Justifique!) $\propto 0

Passo 1

O enunciado traz dois campos vetoriais. Primeiro vec F(x,y)=(P,Q) em R^2, onde
P(x,y)=8+y^2-3x^2, Q(x,y)=e^y+2xy+y,e^-2y,
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar todas as funções potenciais.
Depois apresenta vec H(x,y,z) em R^3, onde
vec H=(H1,H2,H3)=(e^x+y^2+yz,;2y,e^x+y^2+xz,;xy+z),
e pede para justificar se vec H é irrotacional.
Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas em domínios simplesmente conexos para vec F, e o cálculo do rotacional para vec H.

Passo 2

Para vec F calculamos
partial Ppartial y=partialpartial y(8+y^2-3x^2)=2y, partial Qpartial x=partialpartial x(e^y+2xy+y,e^-2y)=2y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em R^2, e R^2 é simplesmente conectado, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integrall(8+y^2-3x^2r),dx =8x +x,y^2 -x^3 +h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivando phi em relação a y e igualando a Q, temos
partial phipartial y =2xy +h'(y) stackrel!=Q=e^y+2xy+y,e^-2y,
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h'(y)=e^y +y,e^-2y

Passo 5

Integramos h'(y):
h(y)=integrall(e^y +y,e^-2yr),dy =integral e^y,dy+integral y,e^-2y,dy =e^y +l(-tfrac12y,e^-2y-tfrac14e^-2yr) + C
Aqui usamos integração por partes em integral y,e^-2ydy. O C é a constante geral de integração.

Passo 6

Assim, uma família de potenciais é dada por
phi(x,y) =8x +x,y^2 -x^3 +e^y -tfrac12,y,e^-2y -tfrac14,e^-2y + C,
com Cin R.

Passo 7

Para vec H em R^3 calculamos o rotacional nablatimes vec H. Seus componentes são
(nablatimes vec H)1 =partial H3partial y-partial H2partial z =x - x=0,
(nablatimes vec H)2 =partial H1partial z-partial H3partial x =y - y=0,
(nablatimes vec H)3 =partial H2partial x-partial H1partial y =l(2y,e^x+y^2+zr)-l(2y,e^x+y^2+zr)=0

Passo 8

Como nablatimesvec H=(0,0,0) em todo R^3, vec H é irrotacional.

Resposta

vec F é conservativo e suas funções potenciais são
phi(x,y)=8x +x,y^2 -x^3 +e^y -tfrac12,y,e^-2y -tfrac14,e^-2y + C, Cin R
O campo vec H é irrotacional, pois nablatimesvec H=(0,0,0).

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