a) Considere o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(8+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+y e^-2 y)
Determine se F é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a F
1.0

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F: R^2 to R^2 definido por
F(x,y) = l(8 + y^2 - 3x^2,; e^y + 2 x y + y e^-2yr)
Precisamos determinar se F é conservativo (isto é, se existe phi tal que nablaphi=F) e, em caso afirmativo, encontrar todas as funções potenciais.

Passo 2

Para um campo em R^2 de classe C^1 num domínio simplesmente conectado, basta verificar se
partial Ppartial y = partial Qpartial x,
onde P(x,y) e Q(x,y) são as componentes de F.

Passo 3

Aqui
P(x,y) = 8 + y^2 - 3x^2, Q(x,y) = e^y + 2xy + y e^-2y
Calculamos
partial Ppartial y = 2y, partial Qpartial x = 2y

Passo 4

Como partial P/partial y = partial Q/partial x em todo R^2 e o domínio é simplesmente conectado, concluímos que F é conservativo.

Passo 5

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x = P(x,y)
Integramos P em x:
phi(x,y) = integral (8 + y^2 - 3x^2),dx = 8x + x y^2 - x^3 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Impondo
partial phipartial y = 2xy + h'(y) stackrel!= Q(x,y) = e^y + 2xy + y e^-2y,
vemos que
h'(y) = e^y + y e^-2y

Passo 7

Integramos h'(y):
h(y) = integral l(e^y + y e^-2yr),dy = e^y + integral y e^-2y,dy
Pela integração por partes em integral y e^-2ydy, obtemos
integral y e^-2ydy = -tfracy2e^-2y - tfrac14e^-2y + C1
Logo
h(y) = e^y - tfracy2e^-2y - tfrac14e^-2y + C1

Passo 8

Substituindo em phi(x,y), a família de potenciais é
phi(x,y) = 8x + x y^2 - x^3 + e^y - tfracy2e^-2y - tfrac14e^-2y + C,
onde CinR.

Resposta

O campo F é conservativo em R^2 e todas as funções potenciais são
boxed phi(x,y) = 8x + x y^2 - x^3 + e^y - tfracy2e^-2y - tfrac14e^-2y + C, CinR

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