a) Considere o campo vetorial
dado por:
Determine se
é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a
1.0
1.0
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
definido por
Precisamos determinar se
é conservativo (isto é, se existe
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrar todas as funções potenciais.
Passo 2
Para um campo em
de classe
num domínio simplesmente conectado, basta verificar se
onde
e
são as componentes de
.
Passo 3
Aqui
Calculamos
Passo 4
Como
em todo
e o domínio é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integramos
em
:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Impondo
vemos que
Passo 7
Integramos
:
Pela integração por partes em
, obtemos
Logo
Passo 8
Substituindo em
, a família de potenciais é
onde
.
Resposta
O campo
é conservativo em
e todas as funções potenciais são