(a) Considere o campo vetorial dado por F(x, y)=lang<= 2 x y^2, 3 x^2 y^2rang<=. Calcule a integral de linha integralC F cdot d r sobre o segmento de reta ligando os pontos (0,1) e (1,2). (1 pto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y) = lang<= 2xy^2, 3x^2y^2 rang<= ao longo de um segmento de reta que liga os pontos (0,1) e (1,2). Isso envolve conceitos de campos vetoriais e integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a trajetória e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória C que é o segmento de reta de (0,1) a (1,2). Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
x(t) = 0 + (1 - 0)t = t
y(t) = 1 + (2 - 1)t = 1 + t
Então, a parametrização fica r(t) = lang<= t, 1 + t rang<= para t in [0, 1].

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, r'(t) é a derivada da parametrização em relação a t. Vamos precisar calcular F(r(t)) e r'(t) para prosseguir.

Passo 4

Vamos calcular F(r(t)). Substituindo x(t) = t e y(t) = 1 + t na expressão do campo vetorial:
F(t) = lang<= 2 cdot t cdot (1 + t)^2, 3 cdot t^2 cdot (1 + t)^2 rang<=
Vamos expandir (1 + t)^2:
(1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2
Então:
F(t) = lang<= 2t(1 + 2t + t^2), 3t^2(1 + 2t + t^2) rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular r'(t), que é a derivada da parametrização r(t) = lang<= t, 1 + t rang<=:
r'(t) = lang<= ddt(t), ddt(1 + t) rang<= = lang<= 1, 1 rang<=

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F(t) cdot r'(t):
F(t) cdot r'(t) = 2t(1 + 2t + t^2) cdot 1 + 3t^2(1 + 2t + t^2) cdot 1
= 2t(1 + 2t + t^2) + 3t^2(1 + 2t + t^2)
= 2t + 4t^2 + 2t^3 + 3t^2 + 6t^3 + 3t^4
= 2t + (4t^2 + 3t^2) + (2t^3 + 6t^3) + 3t^4
= 2t + 7t^2 + 8t^3 + 3t^4

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (2t + 7t^2 + 8t^3 + 3t^4) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral 2t , dt = t^2
integral 7t^2 , dt = 73t^3
integral 8t^3 , dt = 2t^4
integral 3t^4 , dt = 35t^5
Então, avaliando de 0 a 1:
[ t^2 + 73t^3 + 2t^4 + 35t^5 ]0^1 = 1^2 + 73 cdot 1^3 + 2 cdot 1^4 + 35 cdot 1^5 - 0 = 1 + 73 + 2 + 35
Vamos somar esses valores:
1 + 73 = 103
103 + 2 = 103 + 63 = 163
163 + 35 = 8015 + 915 = 8915

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr vale 8915.

Exercícios relacionados