(a) Considere o campo vetorial dado por
. Calcule a integral de linha
sobre o segmento de reta ligando os pontos
e (1,2). (1 pto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um segmento de reta que liga os pontos
e
. Isso envolve conceitos de campos vetoriais e integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a trajetória e depois aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória
que é o segmento de reta de
a
. Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
Então, a parametrização fica
para
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais:
Aqui,
é a derivada da parametrização em relação a
. Vamos precisar calcular
e
para prosseguir.
Passo 4
Vamos calcular
. Substituindo
e
na expressão do campo vetorial:
Vamos expandir
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada da parametrização
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, avaliando de 0 a 1:
Vamos somar esses valores:
Resposta
A integral de linha
vale
.