Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
28) sumk=1^infty k(x-2)^ke^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em 2 dada por sumk=1^infty k,(x-2)^ke^k. O conteúdo aqui é análise de séries de potência, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = k,l(tfracx-2er)^k e aplicamos o teste da razão:
L = limktoinfty|ak+1ak| = limktoinftyk+1k;|x-2e| = |x-2e|

Passo 3

A série converge se L<1, ou seja
|x-2e|<1
que implica
|x-2|

Passo 4

Agora, verificamos os extremos. Para x=2+e a série vira sum k, que diverge. Para x=2-e ela fica sum k(-1)^k, cujos termos não tendem a zero, então também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (2-e,,2+e).

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