Calcule as integrais a seguir.
(a) integral triplaE(x+y z) d V, onde E é o paralelepípedo E=[0,2] times[0,3] times[0,1]. (1 pto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE(x+y z),dV
onde E=[0,2]times[0,3]times[0,1].
O conteúdo é integração múltipla e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
integral triplaE(x+y z),dV = integral triplaEx,dV + integral triplaEy z,dV
Como E é um paralelepípedo, cada integral se espalha em produto de integrais unidimensionais:
integral triplaEx,dV = integral0^1!integral0^3!integral0^2x,dx,dy,dz, integral triplaEy z,dV = integral0^1!integral0^3!integral0^2y z,dx,dy,dz

Passo 3

No primeiro termo, x independe de y e z, então
integral0^1!integral0^3!integral0^2x,dx,dy,dz = l(integral0^2x,dxr) l(integral0^3dyr) l(integral0^1dzr) = l[tfracx^22r]0^2cdot3cdot1 =2cdot3cdot1=6
No segundo termo, y z independe de x, então
integral0^1!integral0^3!integral0^2y z,dx,dy,dz = l(integral0^2dxr) l(integral0^3y,dyr) l(integral0^1z,dzr) = 2cdottfrac92cdottfrac12=tfrac92
Somando os termos, obtemos ;6 + tfrac92 = tfrac212.

Resposta

212

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