Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
20) sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=1^infty (2k+1)!(2k)!,x^2k
O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Observe que
(2k+1)!(2k)! = 2k+1,
então a série fica
sumk=1^infty(2k+1),x^2k =sumk=1^infty(2k+1),(x^2)^k
Definindo y=x^2, temos uma série do tipo sum ak,y^k com ak=2k+1.

Passo 3

Aplicando o teste da razão em y:
L=limktoinfty|ak+1,y^,k+1ak,y^k| =limktoinfty2(k+1)+12k+1;|y| =limktoinfty2k+32k+1;|y| =|y|
Para convergência precisamos de L<1, ou seja
|y|<1Longrightarrow|x^2|<1Longrightarrow|x|<1
Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=1 e x=-1.
  • Para x=1: o termo geral fica (2k+1), não tende a zero, então a série diverge.
  • Para x=-1: como (-1)^2k=1, o termo geral também é (2k+1), que não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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