Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
20)
20)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.
Passo 2
Observe que
então a série fica
Definindo
, temos uma série do tipo
com
.
Passo 3
Aplicando o teste da razão em
:
Para convergência precisamos de
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 4
Agora testamos os extremos
x=1 e
x=-1 .
- Para
: o termo geral ficax=1 , não tende a zero, então a série diverge.(2k+1) - Para
: comox=-1 , o termo geral também é(-1)^2k=1 , que não tende a zero, logo diverge.(2k+1)
Resposta
O intervalo de convergência é
(-1,1) .