Considere o campo vetorial
dado por
é conservativo em
? Justifique.
Passo 1
Resumindo, temos o campo vetorial
com
definido em
. A pergunta é se
é conservativo nesse domínio. Para isso vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais
e lembrar que, em geral, em domínios não simplesmente conexos essa condição não basta — precisamos também verificar a integral em laços fechados.
Passo 2
Calculamos
Portanto
em todo ponto de
.
Passo 3
Embora o teste de igualdade das mistas seja satisfeito, o domínio
não é simplesmente conexo (existe um “buraco” no ponto
). Nesses casos devemos verificar uma integral de linha ao longo de um laço fechado que rodeie a origem para ver se a circulação é zero.
Passo 4
Parametrizamos o círculo de raio
centrado na origem por
Então
A integral sobre
de
a
é
Resposta
Não. Apesar de
, a circulação em um laço fechado em torno de
vale
, logo
não é conservativo em
.