Considere o campo vetorial F: R^2 backslash(0,0) R^2 dado por
F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j=[-y^3(x^2+y^2)^2] i+[x y^2(x^2+y^2)^2] j
F é conservativo em R^2 backslash(0,0) ? Justifique.

Passo 1

Resumindo, temos o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=-y^3(x^2+y^2)^2, Q(x,y)=x,y^2(x^2+y^2)^2,
definido em R^2setminus(0,0). A pergunta é se F é conservativo nesse domínio. Para isso vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais partial P/partial y=partial Q/partial x e lembrar que, em geral, em domínios não simplesmente conexos essa condição não basta — precisamos também verificar a integral em laços fechados.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-y^3(x^2+y^2)^2r) =y^4-3x^2y^2(x^2+y^2)^3,
partial Qpartial x =partialpartial xl(x,y^2(x^2+y^2)^2r) =y^4-3x^2y^2(x^2+y^2)^3
Portanto partial P/partial y=partial Q/partial x em todo ponto de R^2setminus(0,0).

Passo 3

Embora o teste de igualdade das mistas seja satisfeito, o domínio R^2setminus(0,0) não é simplesmente conexo (existe um “buraco” no ponto (0,0)). Nesses casos devemos verificar uma integral de linha ao longo de um laço fechado que rodeie a origem para ver se a circulação é zero.

Passo 4

Parametrizamos o círculo de raio R centrado na origem por
x=Rcos t, y=Rsin t, tin[0,2pi]
Então
P,dx+Q,dy =l(-sin^3tRr)(-Rsin t,dt) +l(cos t,sin^2tRr)(Rcos t,dt) =sin^2t,dt
A integral sobre t de 0 a 2pi é
integral0^2pisin^2t,dt=pineq0

Resposta

Não. Apesar de partial P/partial y=partial Q/partial x, a circulação em um laço fechado em torno de (0,0) vale pineq0, logo F não é conservativo em R^2setminus(0,0).

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