Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(tan ^2(y)+4 z, 2 x-cos ^4(z), 4 y^2). Seja a superfície S dada pela equação x^2+y^2+z=2, com z >= 1, orientada com vetor normal com componente z positiva. Calcule a integral de superfície
integral duplaS(F cdot n) d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra calcular a integral de superfície de um campo vetorial $ F $ sobre uma superfície $ S $. O campo vetorial é dado por:
F
E a superfície $ S $ é definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $, com $ z \geq 1 $. Além disso, $ S $ está orientada com o vetor normal tendo a componente $ z $ positiva.
Para resolver essa integral, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Gauss (ou divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Mas antes, vamos entender melhor a superfície e como aplicamos o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície $ S $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $ representa um paraboloide, e com $ z \geq 1 $, estamos considerando apenas a parte desse paraboloide que está acima do plano $ z = 1 $.
Agora, para aplicar o teorema de Gauss, precisamos que a superfície seja fechada. Como $ S $ é apenas a parte superior do paraboloide, vamos fechar essa superfície adicionando a base no plano $ z = 1 $, que é um disco $ x^{2} + y^{2} = 1 $ (substituindo $ z = 1 $ na equação da superfície).

Passo 3

Com a superfície fechada, podemos aplicar o teorema de Gauss:
integral duplapartial V F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, $ \partial V $ é a superfície fechada composta por $ S $ e a base no plano $ z = 1 $. Assim, a integral de superfície que queremos calcular sobre $ S $ será igual à integral de volume da divergência de $ F $ menos a integral sobre a base.
Mas, se calcularmos a divergência e a integral de volume, conseguimos facilitar o cálculo, já que a superfície fechada é mais fácil de lidar.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de $ F $:
F
Calculando termo a termo:
nabla cdot F = partialpartial x (tan^2(y) + 4z) + partialpartial y (2x - cos^4(z)) + partialpartial z (4y^2)
partialpartial x (tan^2(y) + 4z) = 0 + 0 = 0
partialpartial y (2x - cos^4(z)) = 0 - 0 = 0
Então,
partialpartial z (4y^2) = 0

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
integral triplaV nabla cdot F , dV = 0
Isso significa que a integral de superfície fechada é zero:
integral duplapartial V F cdot n , dS = 0
Mas sabemos que $ \partial V = S + $ base. Então,
partial V = S +
Portanto,
integral duplaS F cdot n , dS + integral duplabase F cdot n , dS = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral sobre a base, que é o disco $ x^{2} + y^{2} = 1 $ no plano $ z = 1 $. O vetor normal para a base aponta para baixo, já que a superfície $ S $ está orientada para cima. Então, $ n = (0, 0, -1) $.
O campo vetorial na base é:
x^2 + y^2 = 1
O produto escalar $ F \cdot n $ é:
z = 1

Passo 7

A integral sobre a base fica:
integral duplabase F cdot n , dS = integral duplax^2 + y^2 <= 1 (-4y^2) , dx , dy
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $, e $ dS = r , dr , d\theta $. A região é $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Então,
x = rcostheta

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral externa:
-4 cdot 14 integral0^2pi sin^2theta , dtheta = -1 cdot integral0^2pi sin^2theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Portanto,
-1 cdot pi = -pi

Passo 9

Voltando à relação anterior:
integral duplaS F cdot n , dS = - integral duplabase F cdot n , dS = - (-pi) = pi

Resposta

A integral de superfície é igual a $ \pi $.

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