Considere o campo vetorial
dado por
. Seja a superfície
dada pela equação
, com
, orientada com vetor normal com componente
positiva. Calcule a integral de superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra calcular a integral de superfície de um campo vetorial $ F $ sobre uma superfície $ S $. O campo vetorial é dado por:
E a superfície $ S $ é definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $, com $ z \geq 1 $. Além disso, $ S $ está orientada com o vetor normal tendo a componente $ z $ positiva.
Para resolver essa integral, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Gauss (ou divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Mas antes, vamos entender melhor a superfície e como aplicamos o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície $ S $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $ representa um paraboloide, e com $ z \geq 1 $, estamos considerando apenas a parte desse paraboloide que está acima do plano $ z = 1 $.
Agora, para aplicar o teorema de Gauss, precisamos que a superfície seja fechada. Como $ S $ é apenas a parte superior do paraboloide, vamos fechar essa superfície adicionando a base no plano $ z = 1 $, que é um disco $ x^{2} + y^{2} = 1 $ (substituindo $ z = 1 $ na equação da superfície).
Passo 3
Com a superfície fechada, podemos aplicar o teorema de Gauss:
Aqui, $ \partial V $ é a superfície fechada composta por $ S $ e a base no plano $ z = 1 $. Assim, a integral de superfície que queremos calcular sobre $ S $ será igual à integral de volume da divergência de $ F $ menos a integral sobre a base.
Mas, se calcularmos a divergência e a integral de volume, conseguimos facilitar o cálculo, já que a superfície fechada é mais fácil de lidar.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de $ F $:
Calculando termo a termo:
Então,
Passo 5
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Isso significa que a integral de superfície fechada é zero:
Mas sabemos que $ \partial V = S + $ base. Então,
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral sobre a base, que é o disco $ x^{2} + y^{2} = 1 $ no plano $ z = 1 $. O vetor normal para a base aponta para baixo, já que a superfície $ S $ está orientada para cima. Então, $ n = (0, 0, -1) $.
O campo vetorial na base é:
O produto escalar $ F \cdot n $ é:
Passo 7
A integral sobre a base fica:
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $, e $ dS = r , dr , d\theta $. A região é $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Então,
Passo 8
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Sabemos que:
Portanto,
Passo 9
Voltando à relação anterior:
Resposta
A integral de superfície é igual a $ \pi $.