Considere f(x)=llsen(alpha x), & se x<0, x^2-pi2 x, & se 0 <= x <= pi2, arctan (x-beta), & se x>pi2
Para quais valores das constantes alpha e beta, a função f(x) é contínua em todo seu domínio?
(A) Para todo alpha in R e beta=pi2.
(B) Para todo alpha=k pi, onde k in Z, e beta=0.
© Para quaisquer valores alpha in R e beta in R.
(D) Para todo alpha=pi2 e beta=pi2+k pi, onde k in Z.
(E) Não existe alpha in R que torne f(x) contínua em x=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pergunta para quais valores das constantes alpha e beta, a função definida por partes
f(x) = sin(alpha x), & se x < 0, x^2 - pi2x, & se 0 <= x <= pi2, arctan(x - beta), & se x > pi2,
é contínua em todo seu domínio. Para isso, vamos analisar a continuidade nos pontos de transição das partes da função, que são x = 0 e x = pi2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em x = 0. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = 0.
  • Limite pela esquerda ( x to 0^-):
    limx to 0^- sin(alpha x) = sin(0) = 0
  • Limite pela direita ( x to 0^+):
    limx to 0^+ (x^2 - pi2x) = 0 - 0 = 0
  • Valor da função em x = 0:
    f(0) = 0^2 - pi2 cdot 0 = 0
Como todos os limites e o valor da função em x = 0 são iguais a 0, a função é contínua em x = 0 para qualquer valor de alpha.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em x = pi2. Novamente, precisamos que o limite quando x se aproxima de pi2 pela esquerda seja igual ao limite quando x se aproxima de pi2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = pi2.
  • Limite pela esquerda ( x to pi2^-):
    limx to pi2^- (x^2 - pi2x) = (pi2)^2 - pi2 cdot pi2 = pi^24 - pi^24 = 0
  • Limite pela direita ( x to pi2^+):
    limx to pi2^+ arctan(x - beta)
    Para que esse limite seja igual a 0, precisamos que x - beta = 0 quando x = pi2, ou seja:
    pi2 - beta = 0 implies beta = pi2
  • Valor da função em x = pi2:
    f(pi2) = (pi2)^2 - pi2 cdot pi2 = 0
Portanto, para a função ser contínua em x = pi2, devemos ter beta = pi2.

Resposta

A função f(x) é contínua em todo seu domínio para todo alpha in R e beta = dfracpi2. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

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