Vamos resolver o exercício que nos pergunta para quais valores das constantes alpha e beta, a função definida por partes
f(x) = sin(alpha x), & se x < 0, x^2 - pi2x, & se 0 <= x <= pi2, arctan(x - beta), & se x > pi2,
é contínua em todo seu domínio. Para isso, vamos analisar a continuidade nos pontos de transição das partes da função, que são x = 0 e x = pi2.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em x = 0. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = 0.
Limite pela esquerda (x to 0^-):
limx to 0^- sin(alpha x) = sin(0) = 0
Limite pela direita (x to 0^+):
limx to 0^+ (x^2 - pi2x) = 0 - 0 = 0
Valor da função em x = 0:
f(0) = 0^2 - pi2 cdot 0 = 0
Como todos os limites e o valor da função em x = 0 são iguais a 0, a função é contínua em x = 0 para qualquer valor de alpha.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em x = pi2. Novamente, precisamos que o limite quando x se aproxima de pi2 pela esquerda seja igual ao limite quando x se aproxima de pi2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = pi2.
limx to pi2^+ arctan(x - beta)
Para que esse limite seja igual a 0, precisamos que x - beta = 0 quando x = pi2, ou seja: pi2 - beta = 0 implies beta = pi2
Valor da função em x = pi2:
f(pi2) = (pi2)^2 - pi2 cdot pi2 = 0
Portanto, para a função ser contínua em x = pi2, devemos ter beta = pi2.
Resposta
A função f(x) é contínua em todo seu domínio para todo alpha in R e beta = dfracpi2. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.