Seja um campo escalar f: R^3 backslash0 R definido por f(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2. Verifique que nabla^2 f=0, exceto na origem. Calcule integral duplaS(nabla f) cdot n d S, onde S é a esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo escalar definido em R^3setminus0 por f(x,y,z)=1/raizx^2+y^2+z^2. Precisamos mostrar que a Laplaciana nabla^2 f=0 para r=raizx^2+y^2+z^2neq0 e depois calcular o fluxo de nabla f pela esfera de raio 1 centrada na origem: integral duplaS(nabla f)cdothat n,dS.

Passo 2

Para uma função radial f(r), a Laplaciana em coordenadas esféricas depende só de r e vem da fórmula
nabla^2 f(r)=1r^2ddrl(r^2dfdrr)

Passo 3

Aplicando em f(r)=1/r: primeiro calculamos
dfdr=-1r^2,
e então
r^2dfdr=-1Longrightarrowddrl(r^2dfdrr)=ddr(-1)=0
Como 1/r^2 é finito para rneq0, concluímos que nabla^2 f(r)=0 em todo ponto fora da origem.

Passo 4

Para calcular o fluxo, precisamos de nabla f. Em coordenadas esféricas, para função radial vale
nabla f(r)=dfdr, r=-1r^2, r

Passo 5

Na esfera de raio 1 temos r=1 e vetor normal externo hat n= r, logo
(nabla f)cdothat n=-11^2=-1
Como a área da esfera de raio 1 é 4pi, o fluxo é
integral duplaS(nabla f)cdothat n,dS=-1cdot4pi=-4pi

Resposta

-4pi

Exercícios relacionados