Seja um campo escalar
definido por
. Verifique que
, exceto na origem. Calcule
, onde
é a esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo escalar definido em
por
. Precisamos mostrar que a Laplaciana
para
e depois calcular o fluxo de
pela esfera de raio 1 centrada na origem:
.
Passo 2
Para uma função radial
, a Laplaciana em coordenadas esféricas depende só de
e vem da fórmula
Passo 3
Aplicando em
: primeiro calculamos
e então
Como
é finito para
, concluímos que
em todo ponto fora da origem.
Passo 4
Para calcular o fluxo, precisamos de
. Em coordenadas esféricas, para função radial vale
Passo 5
Na esfera de raio 1 temos
e vetor normal externo
, logo
Como a área da esfera de raio 1 é
, o fluxo é