Considere o campo vetorial definido em pela equação
Considere o conjunto . Expresse em coordenadas polares, isto é,
onde . Mostre que
Passo 1
Neste exercício queremos achar a fórmula do ângulo θ em coordenadas polares no conjunto T = ℝ² sem o eixo negativo de y, sabendo que x = r cosθ, y = r sinθ, com r>0 e –π/2<θ<3π/2. Portanto o conteúdo é conversão para ângulo em função de arctan e escolha de ramo.
Passo 2
A partir de x = r cosθ e y = r sinθ temos a relação básica do triângulo
tan theta = yx
Como a função arctan:ℝ→(-π/2,π/2) dá o valor principal de θ, vamos ver os casos de x.
Passo 3
Se x>0, então cosθ>0 e o ângulo θ cai no intervalo (-π/2,π/2). Nesse caso a inversa direta vale, ou seja:
theta = arctanyx
Passo 4
Se x<0, temos cosθ<0, logo θ pertence a (π/2,3π/2). A função arctan(y/x) nos dá um valor em (-π/2,π/2), então para levar ao ramo (π/2,3π/2) basta somar π:
theta = arctanyx + π
Passo 5
Quando x=0 e estamos em T, só resta y>0 (pois o eixo y negativo foi excluído). Nesse ponto o ângulo é o vértice do eixo y positivo, ou seja: