Considere a função horária de uma partícula em movimento retilíneo em uma dimensão com aceleração a constante, velocidade inicial v0 e posição inicial x0
x(t)=x0+v0 t+12 a t^2
Para a=2 m / s^2, qual a velocidade média entre t=0 e t=2 s e entre t=0 e t=4 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cinemática, que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. Aqui, temos uma função que descreve a posição de uma partícula em função do tempo, considerando uma aceleração constante. Para resolver a questão, vamos calcular a velocidade média da partícula em dois intervalos de tempo diferentes usando essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
x(t) = x0 + v0 t + 12 a t^2
Essa é a equação da posição em função do tempo para um movimento retilíneo com aceleração constante. Aqui:
  • $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $
  • $ x_{0} $ é a posição inicial
  • $ v_{0} $ é a velocidade inicial
  • $ a $ é a aceleração
  • $ t $ é o tempo

Passo 3

A velocidade média ($ v_{m} $) durante um intervalo de tempo é calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
vm
Onde:
  • $ x(t_{f}) $ é a posição no tempo final
  • $ x(t_{i}) $ é a posição no tempo inicial
  • $ t_{f} $ é o tempo final
  • $ t_{i} $ é o tempo inicial

Passo 4

Vamos calcular a velocidade média entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.
Primeiro, encontramos $ x(0) $ e $ x(2) $:
Para $ t = 0 $:
t = 0
Para $ t = 2 $:
t = 2

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média:
vm = x(2) - x(0)2 - 0 = (x0 + 2v0 + 4) - x02 = 2v0 + 42 = v0 + 2

Passo 6

Portanto, a velocidade média entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos é:
t = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade média entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos.
Primeiro, encontramos $ x(4) $:
Para $ t = 4 $:
t = 0

Passo 8

Aplicamos novamente a fórmula da velocidade média:
vm = x(4) - x(0)4 - 0 = (x0 + 4v0 + 16) - x04 = 4v0 + 164 = v0 + 4

Resposta

A velocidade média da partícula é:
  • Entre 0 e 2 segundos: $ v_{m} = v_{0} + 2 , m/s $
  • Entre 0 e 4 segundos: $ v_{m} = v_{0} + 4 , m/s $

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