Para as funções f(x) e g(x) abaixo, faça o gráfico das funções f e g entre os valores de x que satisfazem f(x)= g(x), indicando o ponto de máximo ou mínimo da função f, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
f(x)=x^2-x+3 e g(x)=-x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções: $ f(x) = x^{2} - x + 3 $ e $ g(x) = -x^{2} + 4 $. O objetivo é desenhar os gráficos dessas funções no intervalo onde elas são iguais, ou seja, onde $ f(x) = g(x) $. Além disso, precisamos indicar o ponto de máximo ou mínimo da função $ f $ se ele estiver nesse intervalo e mostrar as imagens (valores de $ f $ e $ g $) nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre resolução de equações quadráticas e análise de gráficos de funções do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso significa que devemos resolver a equação:
x

Passo 3

Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, vamos levar todos os termos para um lado da igualdade:
x^2 - x + 3 + x^2 - 4 = 0
Simplificando:
2x^2 - x - 1 = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática $ 2x^{2} - x - 1 = 0 $. Para resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
2x^2 - x - 1 = 0
Aqui, $ a = 2 $, $ b = -1 $, e $ c = -1 $.

Passo 5

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas soluções reais:
De
Então:
De 0
x = 1 pm raiz94 = 1 pm 34

Passo 6

Agora sabemos que $ f(x) = g(x) $ quando $ x = 1 $ e $ x = -\frac{1}{2} $. Então, o intervalo de interesse para desenhar os gráficos é entre $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $.

Passo 7

Vamos analisar a função $ f(x) = x^{2} - x + 3 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para cima. O ponto de mínimo dessa parábola ocorre no vértice, cuja coordenada $ x $ é dada por:
f(x) = x^2 - x + 3

Passo 8

Calculando o valor de $ f $ no vértice:
f
Então, o ponto de mínimo de $ f $ é $ \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right) $. Como $ \frac{1}{2} $ está entre $ -\frac{1}{2} $ e $ 1 $, vamos indicar esse ponto no gráfico.

Passo 9

Agora, vamos considerar a função $ g(x) = -x^{2} + 4 $. Essa é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo. O ponto de máximo ocorre no vértice:
g(x) = -x^2 + 4
Calculando $ g(0) $:
x^2
Então, o ponto de máximo de $ g $ é $ (0, 4) $. Vamos indicar esse ponto no gráfico também.

Passo 10

Por fim, vamos determinar as imagens das funções $ f $ e $ g $ no intervalo $ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $.
Para $ f(x) $:
  • No $ x = -\frac{1}{2} $:
f
  • No $ x = 1 $:
g
Então, a imagem de $ f $ varia de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.
Para $ g(x) $:
  • No $ x = -\frac{1}{2} $:
x in [-12, 1]
  • No $ x = 1 $:
f(x)
Então, a imagem de $ g $ também varia de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.

Resposta

Desenhando os gráficos de $ f(x) = x^{2} - x + 3 $ e $ g(x) = -x^{2} + 4 $ no intervalo $ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $, encontramos que ambas as funções se igualam nos pontos $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $. A função $ f $ possui um ponto de mínimo em $ \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right) $ dentro do intervalo. As imagens das funções nesse intervalo variam de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.

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