Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções: $ f(x) = x^{2} - x + 3 $ e $ g(x) = -x^{2} + 4 $. O objetivo é desenhar os gráficos dessas funções no intervalo onde elas são iguais, ou seja, onde $ f(x) = g(x) $. Além disso, precisamos indicar o ponto de máximo ou mínimo da função $ f $ se ele estiver nesse intervalo e mostrar as imagens (valores de $ f $ e $ g $) nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre resolução de equações quadráticas e análise de gráficos de funções do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso significa que devemos resolver a equação:
Passo 3
Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, vamos levar todos os termos para um lado da igualdade:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática $ 2x^{2} - x - 1 = 0 $. Para resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 2 $, $ b = -1 $, e $ c = -1 $.
Passo 5
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas soluções reais:
Então:
Passo 6
Agora sabemos que $ f(x) = g(x) $ quando $ x = 1 $ e $ x = -\frac{1}{2} $. Então, o intervalo de interesse para desenhar os gráficos é entre $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $.
Passo 7
Vamos analisar a função $ f(x) = x^{2} - x + 3 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para cima. O ponto de mínimo dessa parábola ocorre no vértice, cuja coordenada $ x $ é dada por:
Passo 8
Calculando o valor de $ f $ no vértice:
Então, o ponto de mínimo de $ f $ é $ \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right) $. Como $ \frac{1}{2} $ está entre $ -\frac{1}{2} $ e $ 1 $, vamos indicar esse ponto no gráfico.
Passo 9
Agora, vamos considerar a função $ g(x) = -x^{2} + 4 $. Essa é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo. O ponto de máximo ocorre no vértice:
Calculando $ g(0) $:
Então, o ponto de máximo de $ g $ é $ (0, 4) $. Vamos indicar esse ponto no gráfico também.
Passo 10
Por fim, vamos determinar as imagens das funções $ f $ e $ g $ no intervalo $ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $.
Para $ f(x) $:
- No $ x = -\frac{1}{2} $:
- No $ x = 1 $:
Então, a imagem de $ f $ varia de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.
Para $ g(x) $:
- No $ x = -\frac{1}{2} $:
- No $ x = 1 $:
Então, a imagem de $ g $ também varia de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.
Resposta
Desenhando os gráficos de $ f(x) = x^{2} - x + 3 $ e $ g(x) = -x^{2} + 4 $ no intervalo $ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $, encontramos que ambas as funções se igualam nos pontos $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $. A função $ f $ possui um ponto de mínimo em $ \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right) $ dentro do intervalo. As imagens das funções nesse intervalo variam de $ 3 $ a $ \frac{15}{4} $.