Considere o campo vetorial
Encontre o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula sobre a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de forças, representado pela função vetorial
, ao mover uma partícula ao longo de uma curva
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial, calcular a derivada da parametrização e, por fim, fazer a integral do produto escalar entre
e a derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva está dada por:
Aqui,
é o nosso parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na função vetorial
:
Substituindo
e
:
Simplificando as potências:
Passo 4
Precisamos da derivada da curva
em relação a
, ou seja,
:
Passo 5
O trabalho
realizado é dado pela integral de linha do produto escalar entre
e
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado do produto escalar de
a
:
Podemos simplificar a integral fatorando
:
Essa integral pode ser resolvida expandindo
ou utilizando substituição, mas para facilitar, vamos resolver numericamente ou deixar em forma de integral definida para cálculo preciso.
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao mover a partícula ao longo da curva
é dado pela integral:
Calculando essa integral, obtemos o valor final do trabalho realizado.