Considere o campo vetorial
Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial dado por
. A questão pede para a gente descobrir se esse campo tem uma função potencial, ou seja, se ele é conservativo. Se for, a gente precisa achar essa função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existir uma função
tal que
. Isso significa que:
Além disso, para que
seja conservativo, as derivadas mistas devem ser iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, vamos integrar
em relação a
:
A integral
pode ser resolvida usando substituição. Vamos chamar
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Então, a função potencial fica:
Onde
é uma constante que podemos desprezar, já que estamos procurando uma função potencial.
Resposta
A função potencial para
é
.