Considere o campo vetorial
F(x, y)=(1+y e^x y) i+(2 y+x e^x y) j
Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para F.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial dado por F(x, y) = (1 + y e^x y) i + (2 y + x e^x y) j. A questão pede para a gente descobrir se esse campo tem uma função potencial, ou seja, se ele é conservativo. Se for, a gente precisa achar essa função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F = P i + Q j é conservativo se existir uma função f(x, y) tal que F = nabla f. Isso significa que:
partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q
Além disso, para que F seja conservativo, as derivadas mistas devem ser iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso caso:
P = 1 + y e^x y
Q = 2 y + x e^x y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se partial Ppartial y = partial Qpartial x.

Passo 4

Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (1 + y e^x y) = e^x y + y cdot x e^x y = e^x y (1 + x y)
Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2 y + x e^x y) = 0 + e^x y + x y e^x y = e^x y (1 + x y)
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Para isso, vamos integrar P em relação a x:
f(x, y) = integral P , dx = integral (1 + y e^x y) dx = x + integral y e^x y dx
A integral integral y e^x y dx pode ser resolvida usando substituição. Vamos chamar u = x y, então du = y dx, ou seja, dx = duy.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral y e^x y dx = integral y e^u cdot duy = integral e^u du = e^u + C = e^x y + C
Então, a função potencial fica:
f(x, y) = x + e^x y + C
Onde C é uma constante que podemos desprezar, já que estamos procurando uma função potencial.

Resposta

A função potencial para F é f(x, y) = x + e^x y.

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