Determine o círculo e o raio de convergência da série de potências.
sumk=1^infty 1k^2(3+4 i)^k(z+3 i)^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o círculo e o raio de convergência da série de potências dada. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e o teste de convergência, que nos ajudam a encontrar até onde a série “funciona” sem divergindo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos:
sumk=1^infty 1k^2(3+4i)^k(z+3i)^k
Aqui, é a parte que envolve a variável complexa .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão, que nos diz que o raio R = limk to infty | akak+1 | é dado por:
onde são os coeficientes da série.

Passo 4

Identificando os coeficientes ak = 1k^2(3+4i)^k na nossa série:
akak+1 = 1k^2(3+4i)^k1(k+1)^2(3+4i)^k+1 = (k+1)^2k^2 cdot (3+4i)
Então, vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando R = limk to infty | (k+1)^2k^2 cdot (3+4i) | = limk to infty | (1 + 1k)^2 | cdot |3+4i| tende ao infinito:
R = |3+4i|
Como tende para 1 quando vai para infinito, temos:

Passo 6

Vamos calcular o módulo de |3 + 4i| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 :
Portanto, o raio de convergência é 5.

Passo 7

O centro da série de potências é dado pelo valor que está dentro do parêntese, que neste caso é . Isso significa que a série converge para valores de tais que a distância de até seja menor que 5.

Resposta

O círculo de convergência tem centro em e raio de convergência igual a 5.

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