Determine o círculo e o raio de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o círculo e o raio de convergência da série de potências dada. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e o teste de convergência, que nos ajudam a encontrar até onde a série “funciona” sem divergindo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos:
Aqui, é a parte que envolve a variável complexa .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão, que nos diz que o raio é dado por:
onde são os coeficientes da série.
Passo 4
Identificando os coeficientes ak = 1k^2(3+4i)^k na nossa série:
O centro da série de potências é dado pelo valor que está dentro do parêntese, que neste caso é . Isso significa que a série converge para valores de tais que a distância de até seja menor que 5.
Resposta
O círculo de convergência tem centro em e raio de convergência igual a 5.