Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
d yd x=zx ln yx

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
dydx = zx ln ( yx )
O objetivo é resolver essa equação usando uma substituição apropriada. Isso significa que vamos mudar as variáveis de maneira estratégica para simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a equação mais simples. Notamos que temos u = yx dentro do logaritmo. Então, vamos definir uma nova variável y = u cdot x dessa forma:
Isso implica que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dydx = u + x cdot dudx em relação a . Usando a regra do produto, temos:

Passo 4

Vamos substituir u + x cdot dudx = zx ln(u) e na equação original com as expressões que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo que envolve x cdot dudx = zx ln(u) - u :
dudx = z ln(u)x^2 - ux

Passo 6

Observamos que a equação ainda está um pouco complicada. Para facilitar, vamos tentar separar as variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação:
dudx + ux = z ln(u)x^2

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear na forma:
dudx + P(x) u = Q(x)
Onde:
P(x) = 1x e Q(x) = z ln(u)x^2

Passo 8

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x é dado por:

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x cdot dudx + u = z ln(u)x :

Passo 10

Agora, a equação pode ser escrita como:
ddx (u cdot x) = z ln(u)x

Passo 11

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx (u cdot x) dx = integral z ln(u)x dx :
u cdot x = z integral ln(u)x dx + C
Onde é a constante de integração.

Passo 12

A resolução dessa integral pode ser complexa e, dependendo do contexto, pode não ter uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar a solução de forma implícita:
u cdot x = z integral ln(u)x dx + C
Lembrando que yx cdot x = y = z integral ln(yx)x dx + C , substituímos de volta:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
y = z integral ln(yx)x dx + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados