Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo é resolver essa equação usando uma substituição apropriada. Isso significa que vamos mudar as variáveis de maneira estratégica para simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a equação mais simples. Notamos que temos
dentro do logaritmo. Então, vamos definir uma nova variável
dessa forma:
Isso implica que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original com as expressões que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos isolar o termo que envolve
:
Passo 6
Observamos que a equação ainda está um pouco complicada. Para facilitar, vamos tentar separar as variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear na forma:
Onde:
Passo 8
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Passo 10
Agora, a equação pode ser escrita como:
Passo 11
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
A resolução dessa integral pode ser complexa e, dependendo do contexto, pode não ter uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar a solução de forma implícita:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.