Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer caminho ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular a integral de linha
, onde
é qualquer caminho que liga o ponto
ao ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais. Basicamente, se o campo for conservativo, a integral não vai depender do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição:
Então, vamos identificar
e
no nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Vendo que:
Isso significa que o campo
é conservativo.
Passo 6
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Ou seja:
Passo 7
Vamos encontrar a função potencial
. Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos considerar
.
Passo 9
Portanto, a função potencial é:
Passo 10
Agora, usamos a propriedade dos campos conservativos para calcular a integral:
Passo 11
Calculando
:
Passo 12
Calculando
:
Passo 13
Finalmente, a integral fica:
Resposta
A integral
é igual a 0.