Considere o campo vetorial
F(x, y)=(e^x ln (y)-e^y / x) i+(e^x / y-e^y ln (x)) j
Calcule integralC F cdot d alpha, onde C é qualquer caminho ligando o ponto (1,1) ao ponto (3,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y) e precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dalpha, onde C é qualquer caminho que liga o ponto (1,1) ao ponto (3,3). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais. Basicamente, se o campo for conservativo, a integral não vai depender do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F(x, y) é conservativo. Um campo vetorial F = Pi + Qj é conservativo se satisfizer a condição:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Então, vamos identificar P e Q no nosso caso:
P(x, y) = e^x ln (y) - e^yx
Q(x, y) = e^xy - e^y ln (x)

Passo 3

Agora, vamos calcular partial Ppartial y:
partial Ppartial y = e^x cdot 1y - e^yx cdot 0 = e^xy

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Qpartial x:
partial Qpartial x = e^xy - 0 = e^xy

Passo 5

Vendo que:
partial Ppartial y = e^xy = partial Qpartial x
Isso significa que o campo F é conservativo.

Passo 6

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial f(x, y) tal que:
F = nabla f
Ou seja:
partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q

Passo 7

Vamos encontrar a função potencial f(x, y). Integrando P em relação a x:
f(x, y) = integral (e^x ln (y) - e^yx) dx = ln(y) e^x - e^y ln(x) + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 8

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = e^xy - e^y ln(x) + g'(y) = Q = e^xy - e^y ln(x)
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é constante. Podemos considerar g(y) = 0.

Passo 9

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = e^x ln(y) - e^y ln(x)

Passo 10

Agora, usamos a propriedade dos campos conservativos para calcular a integral:
integralC F cdot dalpha = f(3, 3) - f(1, 1)

Passo 11

Calculando f(3, 3):
f(3, 3) = e^3 ln(3) - e^3 ln(3) = 0

Passo 12

Calculando f(1, 1):
f(1, 1) = e^1 ln(1) - e^1 ln(1) = 0

Passo 13

Finalmente, a integral fica:
integralC F cdot dalpha = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral integralC F cdot dalpha é igual a 0.

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