A integral de campo vetorial integralC y d x-x d y pela curva C definida pela equação y=x^3 da origem (0,0) ao ponto (2,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de um campo vetorial dado por integralC y , dx - x , dy, onde a curva C é definida pela equação y = x^3, indo da origem (0,0) até o ponto (2,8). Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo, que nos permite calcular a soma acumulada de uma função ao longo de uma curva. Vamos precisar parametrizar a curva e calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como y = x^3, podemos escolher x como nosso parâmetro. Então, vamos definir:
x = t
y = t^3
onde t varia de 0 a 2, já que queremos ir de x=0 até x=2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t para substituir na integral. Calculando:
dxdt = 1
dydt = 3t^2

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral se torna:
integralt=0^t=2 ( y dxdt - x dydt ) dt = integral0^2 ( t^3 cdot 1 - t cdot 3t^2 ) dt
Simplificando a expressão dentro da integral:
t^3 - 3t^3 = -2t^3

Passo 5

Agora, integramos -2t^3 em relação a t de 0 a 2:
integral0^2 -2t^3 , dt = -2 integral0^2 t^3 , dt
A integral de t^3 é t^44, então:
-2 [ t^44 ]0^2 = -2 ( 2^44 - 0^44 ) = -2 ( 164 - 0 ) = -2 cdot 4 = -8

Resposta

A integral de campo vetorial integralC y , dx - x , dy ao longo da curva y = x^3 de (0,0) a (2,8) é igual a -8.

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