A integral de campo vetorial integralC y d x-x d y na curva C parameterizada por: alpha(t)= (cost, sent), para 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial integralC y , dx - x , dy ao longo da curva C que é parametrizada por alpha(t) = (cos t, sin t) para 0 <= t <= pi2. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar usar a parametrização da curva e substituir nas expressões de dx e dy para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. A função alpha(t) = (cos t, sin t) descreve um círculo unitário. Como t varia de 0 a pi2, a curva C é o quarto de um círculo, indo da posição (1, 0) até (0, 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t. Se x = cos t, então dx = -sin t , dt. E se y = sin t, então dy = cos t , dt.

Passo 4

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralC y , dx - x , dy = integral0^pi2 sin t , (-sin t , dt) - cos t , (cos t , dt)
Simplificando:
= integral0^pi2 -sin^2 t , dt - integral0^pi2 cos^2 t , dt

Passo 5

Vamos juntar as duas integrais:
= -integral0^pi2 (sin^2 t + cos^2 t) , dt
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
= -integral0^pi2 1 , dt = -[ t ]0^pi2 = -(pi2 - 0) = -pi2

Resposta

A integral de linha é -pi2.

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