Considere o campo vetorial
O campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
, com
e
, é conservativo. O conteúdo é campos vetoriais e o teste de igualdade de derivadas parciais.
Passo 2
O domínio natural de
é
, que é aberto e simplesmente conexo. Para que
seja conservativo nesse domínio, é necessário e suficiente ter
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, temos
Passo 4
Agora calculamos
. Como
, segue
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais, vemos que
a menos que haja uma relação especial entre
e
, o que não vale em todo o domínio. Portanto,
, logo o campo não é conservativo.
Resposta
O campo não é conservativo, pois suas derivadas parciais cruzadas não coincidem e o rotacional não se anula.