Considere o campo vetorial
F(x, y)=(e^x ln (y)-e^y x) i+(e^x y-e^y ln (x)) j
O campo F é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(P,Q), com P=e^xln y - e^y x e Q=e^x y - e^yln x, é conservativo. O conteúdo é campos vetoriais e o teste de igualdade de derivadas parciais.

Passo 2

O domínio natural de F é x>0, y>0, que é aberto e simplesmente conexo. Para que F seja conservativo nesse domínio, é necessário e suficiente ter partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 3

Vamos calcular partial Ppartial y. Como P=e^xln y - e^y x, temos
partial Ppartial y=e^xcdot1y-x,e^y

Passo 4

Agora calculamos partial Qpartial x. Como Q=e^x y - e^yln x, segue
partial Qpartial x=y,e^x - e^ycdot1x

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais, vemos que
e^x,/y - x,e^y neq y,e^x - e^y,/x
a menos que haja uma relação especial entre x e y, o que não vale em todo o domínio. Portanto, partial Ppartial yneqpartial Qpartial x, logo o campo não é conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo, pois suas derivadas parciais cruzadas não coincidem e o rotacional não se anula.

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