Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2. Então :
Determine e esboce o domínio de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir qual é o domínio dessa função. Isso faz parte da matéria de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender quando a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, já que a raiz de números negativos não é real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função 36 - 9x^2 - 4y^2 >= 0 estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos garantir que:

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos com 9x^2 + 4y^2 <= 36 e 9x^236 + 4y^236 <= 1 :
x^24 + y^29 <= 1
Dividindo tudo por 36 para simplificar:
O que simplifica para:

Passo 4

Essa desigualdade representa uma elipse no plano . O domínio da função são todos os pares que satisfazem essa condição. Ou seja, todos os pontos dentro ou na fronteira dessa elipse.

Passo 5

Para esboçar o domínio, a gente desenha a elipse definida por:
x^24 + y^29 = 1
Os semi-eixos são:
  • No eixo :
  • No eixo :
Então, a elipse tem centro na origem, se estende 2 unidades no e 3 unidades no .

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os pontos que satisfazem . Ou seja, é a elipse com semi-eixos de 2 unidades no eixo e 3 unidades no eixo , incluindo sua fronteira.

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