Seja f uma função derivável e seja g(x)=e^x cdot f(3 x+1).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) em x=0.

Passo 1

A questão pede a equação da reta tangente do gráfico de g(x)=e^x cdot f(3x+1) em x=0. Isso envolve derivadas usando as regras do produto e da cadeia, e precisamos calcular g(0) e g'(0).

Passo 2

Para achar g(0), basta substituir x=0 em g(x):
g(0)=e^0cdot f(3cdot0+1)=f(1)

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos
g'(x)=ddx(e^x)cdot f(3x+1)+e^xcdotddxf(3x+1)
A derivada de e^x é e^x e tfracddxf(3x+1)=f'(3x+1)cdot3, então
g'(x)=e^x,f(3x+1)+3,e^x,f'(3x+1)=e^xl(f(3x+1)+3,f'(3x+1)r)

Passo 4

Agora avaliando em x=0:
g'(0)=e^0l(f(1)+3,f'(1)r)=f(1)+3,f'(1)
A equação da reta tangente no ponto x=0 é dada por y=g'(0),x+g(0).

Resposta

y=(f(1)+3f’(1))x+f(1)

Exercícios relacionados