Considere o campo vetorial
F(x, y)=(e^x ln (y)-e^y x) i+(e^x y-e^y ln (x)) j
Calcule integralC F cdot d alpha, onde C é qualquer caminho ligando o ponto (1,1) ao ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dboldsymbolalpha entre os pontos (1,1) e (3,3), onde
F(x,y)=l(e^xln y - e^y xr) i + l(e^x y - e^yln xr) j.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e precisamos verificar se o campo é conservativo (isto é, se existe potencial) para determinar se a integral independe do caminho.

Passo 2

Para um campo vetorial F=(P,Q) em uma região simplesmente conexa, a condição necessária (e suficiente) de ser conservativo é
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
P(x,y)=e^xln y - e^y x,
partial Ppartial y=e^x1y - x,e^y
Q(x,y)=e^x y - e^yln x,
partial Qpartial x=e^x y - e^y1x

Passo 4

Observamos que
$$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\frac1y - x,e^y\quadnão coincide com\quad\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x y - e^y\frac1x.
$$
Logo partial Ppartial y=e^x1y - x,e^ynão coincide compartial Qpartial x=e^x y - e^y1x , ou seja, partial P/partial yneqpartial Q/partial x não é conservativo.

Passo 5

Como o campo não é conservativo, a integral de linha
integralC Fcdot dboldsymbolalpha
depende do caminho escolhido. Não há, portanto, um valor único para qualquer curva que ligue (1,1) a (3,3) sem especificar C.

Resposta

O campo não é conservativo, logo a integral depende do caminho e não há valor único sem especificar a curva C.

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