Considere o campo vetorial
Calcule
, onde
é qualquer caminho ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
entre os pontos
e
, onde
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e precisamos verificar se o campo é conservativo (isto é, se existe potencial) para determinar se a integral independe do caminho.
Passo 2
Para um campo vetorial
em uma região simplesmente conexa, a condição necessária (e suficiente) de ser conservativo é
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 4
Observamos que
$$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\frac1y - x,e^y\quadnão coincide com\quad\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x y - e^y\frac1x.
$$
Logo
, ou seja,
não é conservativo.
Passo 5
Como o campo não é conservativo, a integral de linha
depende do caminho escolhido. Não há, portanto, um valor único para qualquer curva que ligue
a
sem especificar
.
Resposta
O campo não é conservativo, logo a integral depende do caminho e não há valor único sem especificar a curva C.