Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
k) integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=0^4 integralx=tfrac y2^2 e^x^2 ,dx,dy
e ainda esboçar a região de integração. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração, já que e^x^2 não tem primitiva elementar.

Passo 2

Para esboçar a região, observamos as restrições:
0 <= y <= 4
tfrac y2 <= x <= 2
A curva x=tfrac y2 é equivalente a y=2x. No plano (x,y), a região é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,4), limitado por y=0, y=2x e x=2.

Passo 3

Como e^x^2 não tem primitiva elementar em x, trocamos a ordem de integração. Para isso, notamos que na região descrita:
x vai de 0 até 2
• Para cada x, y vai de 0 até 2x
Logo, a integral fica

Passo 4

integralx=0^2 integraly=0^2x e^x^2 ,dy,dx
Na integral interna y é constante frente a x, então

Passo 5

integraly=0^2x dy = 2x,
e a integral torna-se

Passo 6

integral0^2 2x ,e^x^2 ,dx

Passo 7

Agora basta usar a substituição u = x^2, du = 2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. A integral vira

Passo 8

integral0^2 2x ,e^x^2 ,dx = integralu=0^4 e^u ,du = e^4 - 1

Resposta

e^4 - 1

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