Considere o campo vetorial:
Ache uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função
tal que o campo vetorial
. Isso está relacionado ao estudo de gradientes em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes do campo vetorial para obter a função
.
Passo 2
Dado o campo vetorial:
Isso significa que:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada em relação a
elimina qualquer termo que não dependa de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
. Calculando a derivada de
com respeito a
:
Igualando isso à segunda componente do campo vetorial:
Aí vemos que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 5
Assim, a função
fica:
Onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A função que satisfaz
é: