Considere o campo vetorial:
F(x, y) = (x^3 y^4, x^4 y^3)
Ache uma função f tal que F = nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função tal que o campo vetorial . Isso está relacionado ao estudo de gradientes em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes do campo vetorial para obter a função .

Passo 2

Dado o campo vetorial:
Isso significa que:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a derivada em relação a elimina qualquer termo que não dependa de .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Calculando a derivada de com respeito a :
Igualando isso à segunda componente do campo vetorial:
Aí vemos que , ou seja, é uma constante.

Passo 5

Assim, a função fica:
Onde é uma constante qualquer.

Resposta

A função que satisfaz é:

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