Considere o campo vetorial
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
Mostre que
ointC F cdot d r=2 pi
para todo caminho fechado simples que circunde a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = \frac{-y}{x{2}+y{2}} \mathbf{i} + \frac{x}{x{2}+y{2}} \mathbf{j} $ ao longo de qualquer caminho fechado simples que rode a origem é igual a $ 2\pi $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a circulação de um campo vetorial e o teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha e como aplicar o teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \oint_{C} F \cdot d\mathbf{r} $. Isso representa a circulação do campo vetorial $ F $ ao longo do caminho fechado $ C $. A circulação mede quanta “rotatividade” o campo tem ao redor do caminho.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada por $ C $. O teorema diz:
D
Onde $ F = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} $.

Passo 4

No nosso caso, temos:
P = -yx^2 + y^2 e Q = xx^2 + y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2 + x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 = 0

Passo 6

Isso significa que, de acordo com o Teorema de Green, a integral dupla é zero, sugerindo que a circulação seria zero. Mas temos um detalhe importante: o campo $ F $ tem uma singularidade na origem (quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $).

Passo 7

Como o caminho $ C $ circunda a origem onde o campo não é definido, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente na região que inclui a origem. Para contornar isso, podemos excluir um pequeno círculo ao redor da origem e aplicar o Teorema de Green na região externa, depois analisar o limite quando o raio desse pequeno círculo tende a zero.

Passo 8

Ao fazer isso, descobrimos que a circulação ao redor da origem contribui com uma quantidade fixa, independentemente do caminho $ C $, resultando em $ 2\pi $. Isso está relacionado ao conceito de campo vetorial rotacional, onde o campo $ F $ representa uma rotação uniforme ao redor da origem.

Resposta

Portanto, a integral de linha do campo vetorial $ F $ ao longo de qualquer caminho fechado simples que circunda a origem é igual a $ 2\pi $.
F

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