Considere o campo vetorial
Mostre que
para todo caminho fechado simples que circunde a origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = \frac{-y}{x{2}+y{2}} \mathbf{i} + \frac{x}{x{2}+y{2}} \mathbf{j} $ ao longo de qualquer caminho fechado simples que rode a origem é igual a $ 2\pi $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a circulação de um campo vetorial e o teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha e como aplicar o teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \oint_{C} F \cdot d\mathbf{r} $. Isso representa a circulação do campo vetorial $ F $ ao longo do caminho fechado $ C $. A circulação mede quanta “rotatividade” o campo tem ao redor do caminho.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada por $ C $. O teorema diz:
Onde $ F = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} $.
Passo 4
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Isso significa que, de acordo com o Teorema de Green, a integral dupla é zero, sugerindo que a circulação seria zero. Mas temos um detalhe importante: o campo $ F $ tem uma singularidade na origem (quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $).
Passo 7
Como o caminho $ C $ circunda a origem onde o campo não é definido, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente na região que inclui a origem. Para contornar isso, podemos excluir um pequeno círculo ao redor da origem e aplicar o Teorema de Green na região externa, depois analisar o limite quando o raio desse pequeno círculo tende a zero.
Passo 8
Ao fazer isso, descobrimos que a circulação ao redor da origem contribui com uma quantidade fixa, independentemente do caminho $ C $, resultando em $ 2\pi $. Isso está relacionado ao conceito de campo vetorial rotacional, onde o campo $ F $ representa uma rotação uniforme ao redor da origem.
Resposta
Portanto, a integral de linha do campo vetorial $ F $ ao longo de qualquer caminho fechado simples que circunda a origem é igual a $ 2\pi $.