Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total d w, onde
w=cos ^3(raizx^2+y^2) e^x^2+y^5.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o diferencial total de
w = cos^3(raizx^2+y^2) e^x^2+y^5
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e a regra do produto. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto, a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy de uma função é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial wpartial x = partialpartial x[ cos^3(raizx^2+y^2) ] e^x^2+y^5 + cos^3(raizx^2+y^2) partialpartial x [ e^x^2+y^5 ] em relação a , ou seja, . Como é um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto:

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, derivamos partialpartial x cos^3(u) = 3 cos^2(u) cdot (-sin(u)) cdot partial upartial x em relação a partialpartial x cos^3(raizx^2+y^2) = -3 cos^2(raizx^2+y^2) sin(raizx^2+y^2) cdot xraizx^2+y^2 . Aplicamos a regra da cadeia:
onde . Então:

Passo 5

Agora, derivamos partialpartial x e^x^2+y^5 = e^x^2+y^5 cdot 2x em relação a :

Passo 6

Substituindo as derivadas de volta na expressão para partial wpartial x = [ -3 cos^2(raizx^2+y^2) sin(raizx^2+y^2) cdot xraizx^2+y^2 ] e^x^2+y^5 + cos^3(raizx^2+y^2) cdot e^x^2+y^5 cdot 2x :

Passo 7

Podemos fatorar partial wpartial x = e^x^2+y^5 cos^2(raizx^2+y^2) [ -3 sin(raizx^2+y^2) cdot xraizx^2+y^2 + 2x cos(raizx^2+y^2) ] para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = partialpartial y[ cos^3(raizx^2+y^2) ] e^x^2+y^5 + cos^3(raizx^2+y^2) partialpartial y [ e^x^2+y^5 ] em relação a , ou seja, . Novamente, aplicamos a regra do produto:

Passo 9

Derivando partialpartial y cos^3(u) = 3 cos^2(u) cdot (-sin(u)) cdot partial upartial y em relação a partialpartial y cos^3(raizx^2+y^2) = -3 cos^2(raizx^2+y^2) sin(raizx^2+y^2) cdot yraizx^2+y^2 , usamos a regra da cadeia novamente:
onde . Então:

Passo 10

Derivando partialpartial y e^x^2+y^5 = e^x^2+y^5 cdot 5y^4 em relação a :

Passo 11

Substituindo as derivadas de volta na expressão para partial wpartial y = [ -3 cos^2(raizx^2+y^2) sin(raizx^2+y^2) cdot yraizx^2+y^2 ] e^x^2+y^5 + cos^3(raizx^2+y^2) cdot e^x^2+y^5 cdot 5y^4 :

Passo 12

Fatorando partial wpartial y = e^x^2+y^5 cos^2(raizx^2+y^2) [ -3 sin(raizx^2+y^2) cdot yraizx^2+y^2 + 5y^4 cos(raizx^2+y^2) ] , obtemos:

Passo 13

Finalmente, juntamos as derivadas parciais para obter o diferencial total dw = e^x^2+y^5 cos^2(raizx^2+y^2) [ ( -3xraizx^2+y^2 sin(raizx^2+y^2) + 2x cos(raizx^2+y^2) ) dx + ( -3yraizx^2+y^2 sin(raizx^2+y^2) + 5y^4 cos(raizx^2+y^2) ) dy ] :

Resposta

O diferencial total é:
dw = e^x^2+y^5 cos^2(raizx^2+y^2) [ ( -3xraizx^2+y^2 sin(raizx^2+y^2) + 2x cos(raizx^2+y^2) ) dx + ( -3yraizx^2+y^2 sin(raizx^2+y^2) + 5y^4 cos(raizx^2+y^2) ) dy ]

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