Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total
, onde
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o diferencial total de
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e a regra do produto. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto, a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o diferencial total
de uma função
é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como
é um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, derivamos
em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia:
onde
. Então:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Substituindo as derivadas de volta na expressão para
:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, aplicamos a regra do produto:
Passo 9
Derivando
em relação a
, usamos a regra da cadeia novamente:
onde
. Então:
Passo 10
Derivando
em relação a
:
Passo 11
Substituindo as derivadas de volta na expressão para
:
Passo 12
Fatorando
, obtemos:
Passo 13
Finalmente, juntamos as derivadas parciais para obter o diferencial total
:
Resposta
O diferencial total é: