Considere a região limitada pela curva
, o eixo
e as retas
e
. Desenhe-a, calcule sua área e o volume do sólido de revolução gerado quando ela gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
. A gente vai precisar usar cálculo integral para encontrar a área dessa região e, depois, calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa área em torno do eixo
. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. A curva
é uma parábola que abre para cima. O eixo
é simplesmente a linha horizontal
. As retas
e
são linhas verticais que vão cortar a parábola.
Vamos desenhar mentalmente essa região: imagine a parábola subindo, cortada pelas linhas verticais em
e
, e abaixo dela, até o eixo
.
Passo 3
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
No nosso caso, a curva superior é
e a curva inferior é o eixo
, que corresponde a
. Os limites de integração são
e
.
Passo 4
Vamos montar a integral para a área:
Agora, vamos integrar
em relação a
.
Passo 5
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Então, a área da região é
unidades quadradas.
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução gerado ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos.
A fórmula para o volume usando os discos é:
No nosso caso,
, então:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
Simplificando:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas e o volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.