Considere a região limitada pela curva y=x^24, o eixo x e as retas x=1 e x=4. Desenhe-a, calcule sua área e o volume do sólido de revolução gerado quando ela gira em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . A gente vai precisar usar cálculo integral para encontrar a área dessa região e, depois, calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa área em torno do eixo . Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. A curva é uma parábola que abre para cima. O eixo é simplesmente a linha horizontal . As retas e são linhas verticais que vão cortar a parábola.
Vamos desenhar mentalmente essa região: imagine a parábola subindo, cortada pelas linhas verticais em e , e abaixo dela, até o eixo .

Passo 3

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
A = integrala^b (ysuperior - yinferior) , dx
No nosso caso, a curva superior é e a curva inferior é o eixo , que corresponde a . Os limites de integração são e .

Passo 4

Vamos montar a integral para a área:
A = integral1^4 ( x^24 - 0 ) dx = integral1^4 x^24 dx
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 5

A integral de integral x^24 dx = 14 cdot x^33 + C = x^312 + C é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
A = [ x^312 ]1^4 = 4^312 - 1^312 = 6412 - 112 = 6312 = 214
Então, a área da região é unidades quadradas.

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução gerado ao girar essa região em torno do eixo V = pi integrala^b ( y )^2 dx . Para isso, vamos usar o método dos discos.
A fórmula para o volume usando os discos é:
V = pi integral1^4 ( x^24 )^2 dx = pi integral1^4 x^416 dx
No nosso caso, , então:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral x^416 dx = 116 cdot x^55 + C = x^580 + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
V = pi [ x^580 ]1^4 = pi ( 4^580 - 1^580 ) = pi ( 102480 - 180 ) = pi cdot 102380
Simplificando:
V = 102380 pi

Resposta

A área da região é unidades quadradas e o volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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