O enunciado define a função por partes, com Estamos no tópico de continuidade de funções em . Para provar que é contínua, precisamos mostrar que em todo ponto vale seguindo a definição -.
Passo 2
Para , o numerador e o denominador são contínuos, e em temos . Logo é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto contínua em qualquer ponto .
Passo 3
Para , queremos mostrar . Observe que para
Além disso, sempre vale min(|x|,|y|)<=raizx^2+y^2. Logo
|f(x,y)|<=raizx^2+y^2=|(x,y)|
Dado varepsilon>0, basta escolher de. Se raizx^2+y^2, então
|f(x,y)|<=raizx^2+y^2
mostrando a continuidade em (0,0).
Passo 4
Combinando os dois casos, concluímos que f é contínua em todo R^2.