Seja f: R^2 R tal que
f(x, y)= x y|x|+|y|, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Prove que f é contínua no R^2.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por partes, com f(x,y)=xy|x|+|y|,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0) Estamos no tópico de continuidade de funções em R^2. Para provar que f é contínua, precisamos mostrar que em todo ponto (x0,y0) vale lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0) seguindo a definição varepsilon- de.

Passo 2

Para (x0,y0)neq(0,0), o numerador (x,y)mapsto xy e o denominador (x,y)mapsto|x|+|y| são contínuos, e em (x0,y0) temos |x0|+|y0|>0. Logo f(x,y)=xy|x|+|y| é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto contínua em qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0).

Passo 3

Para (0,0), queremos mostrar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. Observe que para (x,y)neq(0,0)
|xy|x|+|y||=|x|,|y||x|+|y|<=min(|x|,|y|)
Além disso, sempre vale min(|x|,|y|)<=raizx^2+y^2. Logo
|f(x,y)|<=raizx^2+y^2=|(x,y)|
Dado varepsilon>0, basta escolher de. Se raizx^2+y^2, então
|f(x,y)|<=raizx^2+y^2
mostrando a continuidade em (0,0).

Passo 4

Combinando os dois casos, concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

f é contínua em R^2.

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