Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(d) Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1, 0, 0) a (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando uma partícula se movimenta do ponto até . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as suas derivadas parciais misturadas são iguais. Ou seja, para todos os componentes de , deve valer:
Vamos calcular:
Como , a primeira condição é satisfeita.
Também igual, então a segunda condição está ok.
Mais igual! Portanto, todas as condições estão atendidas e o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que . Isso facilita bastante, pois o trabalho será simplesmente no ponto final menos no ponto inicial.
Para encontrar , vamos integrar cada componente:
  1. Começamos com . Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de e .
  1. Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende só de .
  1. Por fim, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante. Podemos ignorar pois ele se cancela na diferença.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora que temos a função potencial , podemos calcular o trabalho realizado usando:
Vamos calcular cada valor:
  1. :
  1. :
Então:

Resposta

O trabalho realizado é unidades de trabalho.

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