Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
e y' + 1/x y = ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, torne a equação mais fácil de resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Então, calculamos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a equação está na forma:
Que no nosso caso fica:

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral do lado direito . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :

Passo 8

Voltando à nossa equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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