Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d y' - 5 y = e^(2 x) + cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo:
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação utilizando o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Identificamos a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Comparando com a equação dada:
Podemos ver que:

Passo 3

Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação e facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Isso porque:
Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos as integrais:
  1. Para :
  1. Para :
Usamos a fórmula de integração para :
Aplicando com e :

Passo 8

Substituímos as integrais na equação:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por para isolar y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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