Resolver as equações de Bernoulli:
c y' + 1/x y = 2 y^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar um método de substituição que transforma a equação não linear em uma linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos da nossa equação de Bernoulli:
A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear. Definimos:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Substituímos na equação original:
Lembre-se que , então . Substituindo isso na equação:

Passo 5

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Então, a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
onde e .

Passo 6

Vamos achar o fator integrante , que é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial por :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é uma constante arbitrária.

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