Resolver as equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, a equação é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar um método de substituição que transforma a equação não linear em uma linear, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os termos da nossa equação de Bernoulli:
A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear. Definimos:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Lembre-se que
, então
. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Então, a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
onde
e
.
Passo 6
Vamos achar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde
é uma constante arbitrária.