Considere o campo vetorial
. Determine
o divergente
.
Verifique se o campo vetorial
é conservativo e justifique sua resposta.
o divergente
Verifique se o campo vetorial
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
e verificar se ele é conservativo. Vamos usar conceitos de divergência, rotacional e condição de conservatividade em domínios simplesmente conexos.
Passo 2
Para calcular a divergência, usamos a definição
, onde
,
e
. Calculando as derivadas parciais, obtemos
,
e
.
Somando essas contribuições, a divergência fica , que pode ser fatorada como
.
Somando essas contribuições, a divergência fica
Passo 3
Para verificar conservatividade, lembramos que em um domínio simplesmente conexo
é conservativo se e somente se
.
Aplicando a fórmula do rotacional, achamos . Calculando cada termo:
,
,
,
e
. Assim obtemos
, que não é o vetor zero, logo
não é conservativo.
Aplicando a fórmula do rotacional, achamos
Resposta
Divergência
. O campo
não é conservativo, pois
.