Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k. Determine
o divergente (nabla, F).
Verifique se o campo vetorial F é conservativo e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a divergência do campo vetorial vec F(x,y,z)=x^2z,hat i+y^2z,hat j+(x^2-y^2),hat k e verificar se ele é conservativo. Vamos usar conceitos de divergência, rotacional e condição de conservatividade em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Para calcular a divergência, usamos a definição nablacdotvec F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z, onde P=x^2z, Q=y^2z e R=x^2-y^2. Calculando as derivadas parciais, obtemos partial P/partial x=2xz, partial Q/partial y=2yz e partial R/partial z=0.
Somando essas contribuições, a divergência fica nablacdotvec F = 2xz + 2yz, que pode ser fatorada como nablacdotvec F = 2z,(x+y).

Passo 3

Para verificar conservatividade, lembramos que em um domínio simplesmente conexo vec F é conservativo se e somente se nablatimesvec F = 0.
Aplicando a fórmula do rotacional, achamos nablatimesvec F = (partial R/partial y - partial Q/partial z,; partial P/partial z - partial R/partial x,; partial Q/partial x - partial P/partial y). Calculando cada termo: partial R/partial y=-2y, partial Q/partial z=y^2, partial P/partial z=x^2, partial R/partial x=2x e partial Q/partial x=partial P/partial y=0. Assim obtemos nablatimesvec F =(-2y - y^2,; x^2 - 2x,; 0), que não é o vetor zero, logo vec F não é conservativo.

Resposta

Divergência nablacdotvec F = 2z(x+y). O campo vec F não é conservativo, pois nablatimesvec F =(-2y - y^2,; x^2 - 2x,; 0)neq 0.

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