Você é um investidor iniciante e deposita um capital inicial C0 no banco A, que paga juros compostos de 5% ao ano continuamente.
a) Determine quanto tempo será necessário para que o valor investido dobre.
b) O banco B dispõe de uma linha de crédito que paga juros de 5, 5 % compostos anualmente. Qual das aplicações financeiras é mais rentável?

Passo 1

O enunciado pede para um capital inicial C₀ dobrar sob juros compostos contínuos de 5% ao ano (banco A) e depois comparar com juros compostos anuais de 5% (banco B). O conteúdo envolve a fórmula de juros contínuos e a de juros compostos anuais, além de logaritmos para isolar o tempo.

Passo 2

Para o banco A temos a equação do montante com juros contínuos:
C(t)=C₀,e^rt,
onde r=0,05. Queremos C(t)=2C₀, logo:
e^0,05t=2
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
0,05t=ln 2
Portanto:
t=ln 20,05

Passo 3

Agora basta calcular numericamente:
t=0,6931470,05approx13,8629 anos

Passo 4

Para o banco B (juros compostos anualmente de 5%) podemos comparar a taxa efetiva anual ou o tempo de duplicação. A taxa efetiva anual é (1+0,05)^1-1=5%, enquanto no banco A a taxa efetiva anual é
e^0,05-1approx0,05127equiv5,127%

Passo 5

Como a taxa efetiva de 5{,}127% do banco A supera os 5% do banco B (e o tempo de duplicação em A é menor que em B), concluímos que o banco A é mais rentável.

Resposta

a) t=ln 20,05approx13,86 anos
b) O banco A (juros contínuos) é mais rentável que o banco B (juros compostos anuais).

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