Determine as equações paramétricas da reta tangente no ponto à curva de intersecção da superfície com o plano .
Passo 1
O enunciado pede para achar as equações paramétricas da reta tangente no ponto à curva de interseção da superfície com o plano . Esse problema envolve geometria analítica de curvas definidas implicitamente e cálculo de reta tangente em 3D. Vamos precisar usar diferenciação implícita para obter a inclinação da projeção da curva no plano e observar que a curva vive no plano .
Passo 2
A interseção da superfície e do plano é dada pelas duas equações simultâneas. Substituindo em , obtemos a curva implícita no plano :
Passo 3
Para encontrar usamos diferenciação implícita em . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na expressão de diferenciação implícita, achamos:
Logo,
Passo 4
No ponto do plano , temos
Como a curva está em z=4, seu componente z não varia ao longo da curva (ou seja, dz/dx=0). Portanto, a direção da reta tangente em 3D é dada pelo vetor
$$
(1,,y’,,0) = (1,-2,0).
$$
Passo 5
Por fim, as equações paramétricas da reta tangente que passa por (-2,2,4) com esse vetor diretor são: