Determine as equações paramétricas da reta tangente no ponto (-2,2,4) à curva de intersecção da superfície z=2 x^2-y^2 com o plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações paramétricas da reta tangente no ponto (-2,2,4) à curva de interseção da superfície z=2x^2 - y^2 com o plano z=4. Esse problema envolve geometria analítica de curvas definidas implicitamente e cálculo de reta tangente em 3D. Vamos precisar usar diferenciação implícita para obter a inclinação da projeção da curva no plano xy e observar que a curva vive no plano z=4.

Passo 2

A interseção da superfície e do plano é dada pelas duas equações simultâneas. Substituindo z=4 em z=2x^2 - y^2, obtemos a curva implícita no plano xy:
F(x,y)=2x^2 - y^2 - 4 = 0

Passo 3

Para encontrar dy/dx usamos diferenciação implícita em F(x,y)=0. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
partial Fpartial x + partial Fpartial ydydx = 0
Calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na expressão de diferenciação implícita, achamos:
partial Fpartial x=4x,nnpartial Fpartial y=-2y
Logo,
4x + (-2y)dydx = 0

Passo 4

No ponto (-2,2) do plano xy, temos
dydx|(-2,2) = 2cdot(-2)2 = -2
Como a curva está em z=4, seu componente z não varia ao longo da curva (ou seja, dz/dx=0). Portanto, a direção da reta tangente em 3D é dada pelo vetor
$$
(1,,y’,,0) = (1,-2,0).
$$

Passo 5

Por fim, as equações paramétricas da reta tangente que passa por (-2,2,4) com esse vetor diretor são:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x(t) = -2 + t, y(t) = 2 - 2t, z(t) = 4

Exercícios relacionados